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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\title{Fonction logarithme décimal, cours de terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction logarithme décimal, Terminale STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\textbf{\LARGE Fonction logarithme décimal, cours, T STMG} 

\section{Définition et propriétés algébriques}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{logarithme décimal} et on note \emphref{$\log$} la fonction qui à tout réel $x$ \emph{strictement positif} associe l'unique réel $y$ tel que ............\\
On a donc pour tout $x>0$ et tout $y$ réel,\\
 $\log(x) = y$ si et seulement si ...........
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout réel $x>0$, $10^{\log(x)}=....$ ;
\nouvitem pour tout réel $x$, $\log(10^x)=.....$;
\nouvitem $\log(1)=....$ et $\log(10)=....$
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples }
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $\log (10^6)=....$ ;
\nouvitem $\log (10^{-11})=........$.
\nouvitem $10^{x}=2$ équivaut à $x=.....$ ;
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété (équation fonctionnelle)}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, 
$$.........$$
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, 
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $\log(\frac{1}{a})=........$ 
\nouvitem $\log(\frac{a}{b})=..........$ 
\nouvitem pour tout entier relatif $n$, $\log (a^n)=..............$ 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem D'une part, $\log(a\times\frac{1}{a})=..........$.\\
D'autre part, $\log(a\times\frac{1}{a})=\log(a)+\log(\frac{1}{a})$\\
Donc $\log(a)+\log(\frac{1}{a})=.........$ et $\log(\frac{1}{a})=.............$.
\nouvitem $\log(\frac{a}{b})=...$
\nouvitem On utilise le fait que $\log(a^n)=\underbrace{\log(a)+\log(a)+...\log(a)}_{n \textrm{fois}}$
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadresansflush}{Exemples}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $\log(10^9) + \log(10^{-5})=...$
\nouvitem $\log(50)=...$
\nouvitem $\log(0,005)=...$ 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadresansflush} 

\section{\'Etude de la fonction logarithme décimal}


\subsection{Dérivabilité et variations}



\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction $\log$ est strictement ........................... sur $]0;+\infty[$.
\end{encadrer}


\subsection{Tableau de variation}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & .... & & ....\\
\hline
 & .... & &  \\
$\log(x)$ & ......  & ...... & \\ 
 & .......... & & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
 \subsection{Tableau de signe}
 
 \begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
 \hline
 $x$ & .... & & .... & & ..... \\
 \hline
 $\log(x)$ & ... & .... & .... & .... & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}


\subsection{Représentation graphique}
 
 On parle de \emphref{croissance logarithmique} pour décrire une telle évolution.

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{fonctionLogRepresentationGraphiqueVide.png}
\end{center}


\subsection{Résolution d'équations et d'inéquations}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $x$ et $y$ strictement positifs :\\
$\log(x)=\log(y)$ si et seulement si .............\\
$\log(x)<\log(y)$ si et seulement si .............\\
$\log(x)>\log(y)$ si et seulement si .............\\
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples }
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de $\log(5x)=6$ :\\
On a $\log(5x)=\log(...........)$ d'après la propriété $\log(10^x)=.......$\\
Donc ............................. d'où $x=$...... .
\nouvitem Résolution de $5^x=6$ :\\
$5^x=6$ équivaut à .............................. donc à ..................................\\
donc à ..........................
\nouvitem La production d'un objet fabriquée initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour diminuer de 5\% toutes les heures jusqu'à ce qu'elle atteigne 40 exemplaires par heure.\\
On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires :\\
$80\times 0,95^x=40$ équivaut à ....................................... donc à ....................................\\
ou encore à ............................................. donc ....................................\\
soit .........
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de $x^{0,5}=6$ :\\
$x^{0,5}=6$ équivaut à ............................................ donc à ............................\\
c'est à dire ................................. \\
donc ............................................
\nouvitem Un capital initial placé à un taux $t$ inconnu à intérêts composées double en 12 ans.\\
On recherche le taux inconnu.\\
On a .................................... ce qui équivaut à ....................................\\
donc à .................................   ou encore ..........................................\\
ce qui équivaut encore à ........................... donc .....................................\\
D'où ..........................\\
 soit ....................... par an .
\end{itemize}  
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Résoudre des inéquations $a^x<y$]}
\begin{onehalfspace}
Résolution de $1,6^x<3$ :\\
$1,6^x<3$ équivaut à ................................. donc à ....................................\\
Donc à ......................................\\
L'ensemble de solutions est ..................................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\end{document}
