\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}


\usepackage[french,lined,boxed]{algorithm2e}


\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.1cm,right=1.1cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{17cm}
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.24cm} 
%\setlength\textheight{23.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 


%\ configuration package algorithm
\SetKw{Retour}{Afficher}
\SetKwBlock{Traitement}{Début traitement}{Fin traitement.}


\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}


\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\title{Fonction inverse, cours, TSTMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
%\pagestyle{fancy}
%\fancyhead[L]{}
%\fancyhead[R]{\textit{\small Fonction inverse}}
%\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
%\fancyfoot[C]{\thepage}
%\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
 {\large \textbf{Fonction inverse}}
\end{center}


\section{\'Etude de la fonction inverse}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{inverse} la fonction  définie  pour tout nombre réel appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f:x\mapsto=\dfrac{1}{x}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Tableau de valeurs}
\pdfrowcolors{}
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|}
\hline
 $x$  & -4 & -3 & -2 & -1 & $-\frac{1}{2}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 & 4 \\
\hline
 $\frac{1}{x}$  & $-\frac{1}{4}$ & $-\frac{1}{3}$ & $\frac{-1}{2}$& $-1$ & -2 & $||$ & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ \\
\hline 
  \end{tabular}

 \end{center}

\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction inverse est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ et sa dérivée est :
$$x\mapsto -\frac{1}{x^2}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a pour tout réel $a$ non nul et tout réel $h$ tel que $a+h\neq 0$,\\
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}=\frac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}=\frac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}=\frac{\frac{-h}{a(a+h)}}{h}=\frac{-h}{a(a+h)}\times \frac{1}{h}=-\frac{1}{a(a+h)}$ \\
qui tend vers $-\frac{1}{a^2}$ quand $h$ tend vers 0.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Variations (propriété) }
La fonction inverse est :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] strictement \emphref{décroissante} sur $]-\infty ;0[$ ;
\item[$\bullet$] strictement \emphref{décroissante} sur $]0;+\infty[$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Sur $]-\infty;0[$, sa fonction dérivée $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$ étant strictement négative, la fonction inverse est strictement décroissante.\\
Sur $]0;+\infty[$, sa fonction dérivée étant aussi strictement négative, la fonction inverse est strictement décroissante.
\end{sanscadre}


\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline

 &  &  & $||$ &  &  \\
$\frac{1}{x}$ &  &	$\searrow$ & $||$ & $\searrow$ &  \\
 & &  & $||$ & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Représentation graphique}
La représentation graphique de la fonction inverse est appelée \emphref{hyperbole}.\\

\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{fonctionInverseFigure.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Signe}
 La fonction inverse est \emphref{négative} sur $]-\infty;0[$ et \emphref{positive} sur $]0;+\infty[$.
\begin{center}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|lcccr|}
 \hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & $+\infty$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ &  & - & $||$ & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{comportement aux bornes de son ensemble de définition, propriété et définition}
La représentation graphique admet deux \emphref{asymptotes} : l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. 
\begin{itemize}
\nouvitem Lorsque $x$ devient de plus en plus proche de 0, $\frac{1}{x}$ devient de plus en plus grand en valeur absolue. On dit que l'axe des ordonnées est une \emphref{asymptote verticale} à la courbe représentative de la fonction inverse.
\nouvitem Lorsque $x$ devient de plus en plus grand en valeur absolue, $\frac{1}{x}$ devient de plus en plus proche de 0. On dit que l'axe des abscisses est une \emphref{asymptote horizontale} à la courbe représentative de la fonction inverse.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Propriété (rappel)}
\begin{tabular}{|p{8cm}|}
\hline
Soit $k$ un réel. 
\begin{itemize}
\nouvitem L'équation $x=k$ est l'équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le point de coordonnées $(k;0)$.
\nouvitem L'équation $y=k$ est l'équation de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées $(0 ; k)$.
\end{itemize}
\end{tabular}
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}


\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{asymptotesEquationsDroitesFigures.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage

\section{Application à l'étude de fonctions}

\begin{sanscadre}{Exemple [\'Etude d'une fonction somme d'une fonction polynomiale et de la fonction inverse]}
On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=2x+1+\frac{8}{x}$.\\
On a $f'(x)=2+8\times{-1}{x^2}=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2}{x^2}-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}$.\\
Par ailleurs, on constate que $2(x-2)(x+2)=2(x^2-2x+2x-4)=2(x^2-4)=2x^2-8$\\
donc $f'(x)=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}$\\
Comme pour tout réel $x$ non nul, $x^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $2x^2-8=2(x-2)(x+2)$\\
En outre $a=2$ donc $a>0$ donc le signe de $2x^2-8$ est + 0 - 0 + d'où :
\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|l|ccccc|}
\hline
$x$ & 0 & & $2$ & & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & || & - & 0 & + & \\
\hline
$f$ & || & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & || & & $f(2)=9$ & & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{flushleft}
 \end{sanscadre}
 




\end{document}
