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\title{Fonctions exponentielles, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions exponentielles , cours, classe de terminale STMG}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Définition et propriétés algébriques}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{exponentielleLienSuitesFigure.pdf}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
On considère un réel $a$ strictement positif et $(a^n)$ la suite géométrique de raison $a$ et de premier terme $a^0=1$. En reliant \og{}régulièrement\fg{} les points représentant cette suite dans un repère, on obtient, pour les abscisses $x\geq 0$, la courbe représentative d'une nouvelle fonction que l'on peut définir sur $\mathbb{R}$ en tenant compte de $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.\\
On appelle \emphref{fonction exponentielle de base $a$} cette fonction définie sur $]-\infty ; +\infty[$ : à tout réel $x$, elle associe le nombre noté $a^{x}$ qui se lit \og{}$a$ puissance $x$\fg{}.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $2^{0,5}\approx 1,41$
\nouvitem $0,5^{0,5}\approx 0,71$
\nouvitem $ 2^{1,5}\approx 2,83$
\nouvitem $ 0,5^{1,5}\approx 0,35$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $a>0$ et $x$ et $y$ deux réels. On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
\nouvitem $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$ ;
\nouvitem $a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}$ ;
\nouvitem pour tout entier relatif $n$, $a^{nx}=(a^{x})^n$ ;
\nouvitem pour tout réel $b>0$, $(ab)^x=a^xb^x$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $2^5\times 2^7=2^{12}$
\nouvitem $2^x3^x=6^x$
\nouvitem $3^5\times 2^5=6^5$
\nouvitem $(2x)^3=2^3\times x^3=8x^3$
\nouvitem $\frac{5^9}{5^7}=5^{9-7}=5^2=25$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Variations}

\begin{encadrer}{Propriété}
Sur tout intervalle $I$, la fonction  $x\mapsto a^x$ est :
\begin{itemize}
\nouvitem strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$ si $a>1$ ;
\nouvitem strictement décroissante sur $]-\infty ; +\infty[$ si $0<a<1$;
\nouvitem constante si $a=1$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir reconnaître le sens de variations d'une fonction exponentielle] }
$x\mapsto 0,5^x$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; +\infty[$ et $x\mapsto 2^x$ est strictement croissante sur $]-\infty ; +\infty[$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $a$ un réel strictement positif et $k$ un réel non nul.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $k>0$, la fonction $x\mapsto ka^x$ a le même sens de variation que la fonction $x\mapsto a^x$ ;
\nouvitem si $k<0$, la fonction $x\mapsto ka^x$ a le sens de variation contraire à la fonction $x\mapsto a^x$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\section{Application aux évolutions successives}

\subsection{Taux global}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité subit $n$ évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ à partir d'une valeur initiale $y_0$, alors la quantité finale $y_n$ est :
$$y_n=(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)y_1$$

Le \emphref{coefficient multiplicateur global} est :
$$\frac{y_n}{y_1}$$
ou
$$(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)$$
Le \emphref{taux d'évolution global} est :
$$\frac{y_n-y_1}{y_1}$$
ou
$$(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)-1$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem La population d'une ville augmente de 2,3\% en un an puis diminue de 4\% les deux années suivantes.
$$(1+\frac{2,3}{100})(1-\frac{4}{100})^2\approx 0,9428$$
Le coefficient multiplicateur global est 0,9428 soit un taux global d'évolution de $0,9428-1=-0,0572$ soit une baisse de 5,72\% (remarque : ce n'est pas la somme des taux successifs : $2,3-4-4=-5,7$).
\nouvitem Si la population de la ville était de 16\,000 habitants en 2010 et de 18\,000 habitants en 2012, alors le taux global d'évolution entre ces deux années est $\frac{18000-16000}{16000}= 0,125$ soit 12,5\% d'augmentation.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Application au calcul de taux moyens}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel. L'équation $x^n=a$ admet une unique solution dans $[0;+\infty[$, le nombre $a^{\frac{1}{n}}$ appelé racine $n$-ième du nombre $a$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
$x^{3}=64$ si et seulement si $x=64^{\frac{1}{3}}$ c'est à dire $x=4$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On considère une quantité qui subit $n$ évolutions successives de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$, et donc de taux global $t=(1+t_1)(1+t_2)\ldots(1+t_n)-1$.\\
On appelle alors \emphref{coefficient multiplicateur moyen} le nombre donné par :
$$((1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n))^{\frac{1}{n}}$$
ou
$$(1+t)^{\frac{1}{n}}$$
On appelle \emphref{taux moyen} le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre donné par :
$$((1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n))^{\frac{1}{n}}-1$$
ou
$$(1+t)^{\frac{1}{n}}-1$$
C'est le taux d'évolution, qui, s'il avait été identique à chacune des $n$ évolutions, aurait donné la même valeur finale que les différents taux $t_1$, $t_2$, etc. successivement appliqués.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un prix initial de 100 \euro{} subit une augmentation de 2 \% puis une baisse de 30 \%.\\
$(1+\frac{2}{100})(1-\frac{30}{100}))^{\frac{1}{2}}=0,714^{\frac{1}{2}}\approx 0,8450$.\\
En outre, $0,8450-1=-0,1550$ soit 15,5 \% de baisse annuelle en moyenne. 
\nouvitem Un produit a vu son prix multiplié par 1,6 en 4 ans. Soit $t$ le taux moyen de l'augmentation.\\
On a $(1+t)^4=1,6$ donc $1+t=1,6^{\frac{1}{4}}$ donc $t=1,6^{\frac{1}{4}}-1$ d'où $t\approx 0,1247$ c'est à dire 12,47 \% d'augmentation par an en moyenne.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\end{document}
