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\newenvironment{sanscadrec}[2]{\noindent \color{#2}{\textbf{#1 :}}\par \noindent}{\bigskip\color{black}\par}
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}\par} % boîtes de propriétés
\newcommand{\savoirFaire}[1]{\textbf{[#1]}}
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\title{Probabilités, loi binomiale, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Loi binomiale, cours, terminale STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Loi binomiale, cours, terminale STMG}}
\end{center}


\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Loi de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $p$ un nombre réel tel que $p\in[0;1]$. Soit $X$ une variable aléatoire. On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si :
\begin{itemize}
 \nouvitem $X$ prend pour seules valeurs 1 (\og{}succès\fg{}) et 0 (\og{}échec\fg{}) ;
\nouvitem $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$. Alors son \emphref{espérance} est 
$$E(X)=p$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 D'une part, $E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)=0\times (1-p)+1\times p = p$.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ;}
\Traitement{
$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;\\
\Si{$t<p$}{Afficher "Succès" ; }
\Sinon{Afficher "\'Echec" ;}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{sanscadrec}{TI}{green}
\noindent Prompt $P$\\
NbreAleatoire$()\vartriangleright T$\\
If $T<P$\\
Then\\
Disp "SUCCES"\\
Else\\
Disp "ECHEC"\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{sanscadrec}{Casio}{blue}
$"P"?\rightarrow P$\\
Rand\# $\rightarrow T$\\
If $T<P$\\
Then "SUCCES"\\
Else "ECHEC"\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{sanscadrec}{XCas}{magenta}
\begin{verbatim}
saisir("Entrer p : ",p);
t:=alea(0,1);
si (t<p) alors 
  afficher("Succès");
sinon
  afficher("Echec");
fsi;
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{8cm}
 \begin{sanscadrec}{Python}{olive}
 \begin{verbatim}
from random import *
def simulation_Bernoulli(p):
    t=random()
    if (t<p):
        return "Succès"
    else:
        return "Echec"
 \end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{sanscadre}


\section{Schéma de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas le résultat de l'autre.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
il y a indépendance lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
La répétition d'une expérience aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, ceci $n$ fois de manière indépendante, constitue \emphref{un schéma de Bernoulli} de paramètres $n$ et $p$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat
\end{encadrer}
}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\begin{itemize}
\nouvitem \savoirFaire{Construire un arbre représentant un schéma de Bernoulli de paramètres donnés}\\
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève 3 produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueux.\\
On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres $p=0,05$ et $n=3$.
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{arbre.png}
\end{center}
\nouvitem \savoirFaire{Calculer la probabilité d'un événement représenté par un chemin sur un arbre pondéré}\\
Sur l'arbre ci-dessus représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$, la probabilité d'avoir les deux premières expériences qui donnent un succès et la dernière qui donne un échec est $P(SS\bar{S})=0,05^2\times 0,95\approx 0,002$\\
soit 0,2 \% de chances d'avoir les deux premiers produits défectueux et le dernier en bon état sur les trois prélevés.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Loi binomiale}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $k\leq n$. On note $\binom{n}{k}$ (on dit \og{}$k$ parmi $n$\fg{}) le nombre de manières d'obtenir $k$ succès et $n-k$ échecs pour $n$ répétitions indépendantes de la même expérience de Bernoulli. 
\end{encadrer}
}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{arbre.png}
\end{center}

\noindent $\binom{3}{3}=1$ : il y a une seule manière d'obtenir 3 succès lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes.\\
$\binom{3}{2}=3$ : il y a trois manières d'obtenir 2 succès et un échec lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes ($SSE$ ; $SES$ ; $ESS$).
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in [0;1]$. On répète $n$ fois ($n\geq 1$) cette expérience indépendamment et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. On dit alors que la variable aléatoire $X$ suit une loi \emphref{binomiale} de paramètres $n$ et $p$ et on note $X\sim \mathcal{B}(n;p)$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $k\in\{0;1;2;...;n\}$ est $$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Il y a $\binom{n}{k}$ manières d'obtenir $k$ succès dans $n$ répétitions d'expériences identiques et indépendantes. La probabilité de chacune de ces événements qui sont évidemment incompatibles est $p^k(1-p)^{n-k}$ d'où le résultat.
\end{sanscadre} 

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Calculer la probabilité de $P(X=k)$ où $X$ suit une loi binomiale à partir d'un arbre pondéré} \\
On considère le problème précédent de test des produits d'une chaîne de production. Les prélèvements étant supposés indépendants les uns des autres, l'expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,05$.\\
On a $P(X=2)=P(SS\bar{S}\cap S\bar{S}S\cap \bar{S}SS)$\\
 car trois chemins permettent d'obtenir deux succès c'est à dire deux objets défectueux.\\
D'où $P(X=2)=P(SS\bar{S})+P(S\bar{S}S)+P(\bar{S}SS)$\\
donc $P(X=2)=0,05^2\times 0,95+0,05\times 0,95\times 0,05+0,95\times 0,05^2=3\times 0,05^2\times 0,95=0,007$\\
soit une probabilité très faible de 0,007 d'avoir deux produits défectueux.
\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{}
\cadre{
\begin{encadrer}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem On a $P(X<k)=P(X\leq k-1)$\\
\nouvitem pour calculer $P(X>k)$, on calcule $1-P(X\leq k)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $P(X<2)=P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)$.\\
Comme $P(X=0)=0,95^3\approx 0,857$\\
et $P(X=1)=P(S\bar{S}\bar{S})+P(\bar{S}S\bar{S})+P(\bar{S}\bar{S}S)=3\times 0,95^2\times 0,05\approx 0,135$\\
On obtient $P(X<2)\approx 0,857+0,135=0,992$.
\nouvitem $P(X>1)=1-P(X\leq 1)$\\
On a vu que $P(X\leq 1)\approx 0,992$\\
on obtient $P(X>1)\approx 1-0,992=0,008$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors :
 L'espérance mathématique notée $E(X)$ est égale à $$E(X)=np$$

L'espérance mathématique donne le nombre moyen de succès sur un grand nombre de simulations de $n$ essais.

\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans l'exemple du chapitre,\\
$E(x)=np=3\times 0,05 = 0,15$\\
 soit en moyenne, 0,15 objets défectueux sur 3 tests sur un grand nombre de tests donc 15 objets défectueux en moyenne sur 300 tests. 
\end{sanscadre}
\newpage

\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ; $n$ : entier naturel ;}
\Traitement{
$c$ prend la valeur 0;\\
\Pour{$k$ de 1 jusque $n$}
  {$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu;\\
  \Si{$t<p$}{$c$ prend la valeur de $c+1$;\\}
  }
}
\Sortie{$c$}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{sanscadrec}{TI}{green}
Prompt $N$\\
Prompt $P$\\
$0\vartriangleright C$\\
For(K,1,N)
$NbreAleatoire()\vartriangleright T$\\
If $T<P$\\
Then\\
$C+1\vartriangleright C$\\
End\\
End\\
Disp $C$
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{sanscadrec}{Casio}{blue}
$"P"?\rightarrow P$\\
$"N"?\rightarrow N$\\
$0\rightarrow C$\\
For $1\rightarrow K$ To $N$ Step 1\\
Rand\#$\rightarrow T$\\
If $T<P$\\
Then $C+1\rightarrow C$\\
IfEnd\\
Next\\
"$C$=":$C$\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{sanscadrec}{XCas}{magenta}
\begin{verbatim}
saisir("Entrer p : ",p);
saisir("Entrer n : ",n);
c:=0;
pour k de 1 jusque n faire
  t:=alea(0,1);
  si t<p alors 
    c:=c+1;
  fsi;
fpour
afficher("Nombre de succès : "+c);
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{8cm}
 \begin{sanscadrec}{Python}{olive}
 \begin{verbatim}
from random import*
p=float(raw_input("Entrer p : "))
n=int(raw_input("Entrer n : "))
c=0
for k in range(1,n+1):
  t=random()
  if t<p:
    c=c+1
print("Nombre de succès",c)
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'obtention de $N$ échantillons de lois binomiales de paramètres $n$ et $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$n$, $N$ : nombres entiers ;$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ;}
\Traitement{$s$ est une liste vide;\\
\Pour{$k$ de 0 jusque $n$}
{$s[k]$ prend la valeur 0;\\}
\Pour{$m$ de 1 jusque $N$}
{
$c$ prend la valeur 0;\\
\Pour{$k$ de 1 jusque $n$}
  {$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu;\\
  \Si{$t<p$}{$c$ prend la valeur de $c+1$;\\}
  }
$s[c]$ prend la valeur de $s[c]+1$;\\
}
Afficher $s$;\\
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{sanscadrec}{XCas}{magenta}
\begin{verbatim}
saisir("Entrer p : ",p);
saisir("Entrer n : ",n);
saisir("Entrer N : ",N);
s:=[];
pour k de 0 jusque n faire
  s[k]:=0;
fpour;
pour m de 1 jusque N faire
  c:=0;
  pour k de 1 jusque n faire
    t:=alea(0,1);
    si t<p alors 
      c:=c+1;
    fsi;
  fpour;
  s[c]:=s[c]+1;
fpour;
pour k de 0 jusque n faire
  afficher("Avec "+k+" succès : "+s[k]);
fpour;
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{9cm}
 \begin{sanscadrec}{Python}{olive}
 \begin{verbatim}
from random import*
p=float(raw_input("Entrer p : "))
n=int(raw_input("Entrer n : "))
N=int(raw_input("Entrer N : "))
s=[]
for k in range(0,n+1):
  s.append(0)
for m in range(1,N+1):
  c=0
  for k in range(1,n+1):
    t=random()
    if t<p:
      c=c+1
  s[c]=s[c]+1
for k in range(0,n+1):
print "Nombre avec "+k+" succès : "+s[k]
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{sanscadre}


\section{Coefficients binomiaux}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ ;
\nouvitem $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Triangle de Pascal}
 Le triangle de Pascal, du nom de Blaise Pascal, mathématicien français du XVII\up{e} siècle qui le\og{}redécouvra\fg{} en Occident (car il était connu avant en Orient et au Moyen-Orient) est une disposition permettant de visualiser et de calculer les coefficients binomiaux et qui s'appuie sur la formule précédente.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
  $\binom{0}{0}=1$ & & & & &\\
\hline
$\binom{1}{0}=1$ & $\binom{1}{1}=1$ & & & &\\
\hline
$\binom{2}{0}=1$ & $\binom{2}{1}=2$ & 1 & & &\\
\hline
$\binom{3}{0}=1$ & $\binom{3}{1}=3$ & 3 & 1 & & \\
\hline
1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
\hline
1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
Explication de la construction : le nombre de la ligne $n$ et de la colonne $k$ est le coefficient binomial $\binom{n-1}{k-1}$. Il est obtenu en ajoutant le nombre situé au dessus (ligne $n-1$ et colonne $k$) au nombre de la colonne et de la ligne précédente (ligne $n-1$ et colonne $k-1$).\\
Par exemple, $\binom{3}{1}=3$ est la somme de $\binom{2}{1}=2$ et de $\binom{2}{0}=1$.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  1 & & & & &\\
\hline
1 & 1 & & & &\\
\hline
1 & 2 & 1 & & &\\
\hline
1 & 3 & 3 & 1 & & \\
\hline
1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
\hline
1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de construction du triangle de Pascal.


\begin{algorithm}
\Donnees{n : entier naturel ;\\}
\Traitement{$a$ est un tableau vide ;\\
\Pour{$k$ de 0 jusque $n$}
  {b est un tableau vide;\\
  \Pour{$p$ de 0 jusque $k$}
    {b[p] prend la valeur 1;\\}
  $a[k]$ prend la valeur de $b$;\\}
\Pour{$k$ de 1 jusque $n$}
  {
  \Pour{$p$ de 1 jusque $k-1$}
    {a[k][p] prend la valeur de a[k-1][l]+a[k-1][l-1];\\}
  Afficher a[k];\\
  }
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}



\end{document}



