Suites de nombres réels, cours, classe de TSTMG
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I - Suites arithmétiques
Définition :
Soit $r$ un nombre réel. On appelle suite arithmétique de raison $r$ toute suite définie par son premier terme $u_p$ avec $p$ entier naturel et pour tout entier naturel $n\geq p$ par la relation :
____$$u_{n+1}=u_n+r$$
c'est à dire que l'on ____ajoute toujours le même nombre $r$ d'un terme de la suite au suivant.
Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=56$ et $u_{n+1}=u_n-4$. $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison -4
On a $u_1=$____52,
$u_2=$____48,
$u_3=$____44.
Expression en fonction de $n$
Propriété : expression en fonction de $n$
Si $(u_n)_n$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors :
- si le premier terme est $u_0$, alors pour tout entier $n$, ____ $u_n=u_0+nr$
- si le premier terme est $u_1$, alors pour tout entier $n$, ____ $u_n=u_1+(n-1)r$
De manière plus générale, pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ avec $p < n$ on a :
____$$u_n=u_p+(n-p)r$$
Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme $u_0=56$.
On a par exemple, $u_{12}=$____$u_0+12\times r=56-12\times 4=8$
ou encore $u_{15}=$____$u_0+15\times (-4)=0$.
Reconnaissance
Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_p$.
$(u_n)$ est arithmétique si et seulement si ____il existe un nombre réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n\geq p$ $u_{n+1}-u_n =r$
Propriété :
On considère une suite $(u_n)$.
$(u_n)$ est une suite arithmétique si et seulement si les points constituant sa représentation graphique dans un repère du plan sont ____ alignés.
Exemple :
La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par $u_n=-4+2n$ pour tout entier naturel $n$.
____
Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et $p$ et $n$ deux entiers naturels distincts.
Alors la raison $r$ de la suite est donnée par :
____$$r=\frac{u_n-u_p}{n-p}$$
Variations
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
- Si $r>0$, alors $(u_n)$ est ____strictement croissante ;
- Si $r < 0$, alors $(u_n)$ est ____strictement décroissante.
Exemple :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique vérifiant $u_{10}=34$ et $u_{16}=43$. On recherche la raison de la suite.
On a $r=$____$\frac{43-34}{16-10}=1,5$.
II - Suites géométriques
Définition :
Soit $q$ un réel. On appelle suite géométrique de raison $q$ toute suite définie par son premier terme $v_p$ où $p$ est un entier naturel et telle que pour tout entier naturel $n\geq p$ :
____$$v_{n+1}=q\times v_n$$
c'est à dire que l'on ____multiplie toujours par le même nombre $q$ pour passer d'un terme au suivant.
Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 2. On a
$u_2=$____$u_1\times 2=3\times 2=6$
$u_3=$____$6\times 2=12$
$u_4=$____$12\times 2=24$
Propriété : expression en fonction de $n$
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme :
- $u_0$, alors ____$u_n=u_0\times q^n$
- $u_1$, alors ____$u_n=u_1\times q^{n-1}$
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p < n$, on a :
____$$u_n=u_p\times q^{n-p}$$
Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.
On a par exemple $u_{12}=$____$u_0\times 2^{12}=5\times 2^{12}=20480$.
Reconnaissance
Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_p$.
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique
si et seulement si il existe un réel $q$ tel que pour tous les entiers naturels $n\geq p$,____ $$u_{n+1}=q\times u_n$$
c'est à dire
____$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$$
Variations
Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$.
- Si $q>1$, alors $(u_n)$ est ____ strictement croissante ;
- Si $0 < q < 1$, alors $(u_n)$ est ____strictement décroissante.
Cas particulier :
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_p$ telle que pour tout entier naturel $n\geq p$, $u_{n+1}$ est obtenue à partir de $u_n$ par une évolution de taux $t$.
Alors $(u_n)$ est une suite ____géométrique de raison $q=1+t$.
Preuve :
Pour tout $n\geq p$, on a ____$u_{n+1}=(1+t)u_n$.
III - Application à la gestion
Propriété :
Un capital $C_0$ est placé pendant $n$ années au taux annuel de $t$ % avec intérêts composés.
Alors, au bout de $n$ années, le capital disponible $C_n$ est :
____$$C_n=C_0\times (1+t)^n$$
Définition :
- $C_n$ est appelé ____valeur acquise par le capital $C_0$ au pendant $n$ années au taux de $t$ %.
- $C_0$ est appelé ____valeur actuelle de $C_n$.
- Deux taux correspondants à des périodes de calcul différentes (par exemple annuelles ou mensuelles) sont dits ____équivalents lorsque, à intérêts composés, ils donnent la même valeur acquise du capital au bout du même temps de placement.
Exemple :
$C_0$ est placé à 0,26 % par mois avec intérêts composés sur 12 mois. On a :
$C_{12}=$____$C_0\times (1+0,0026)^{12}\approx 1,0316$
Donc le taux annuel équivalent au taux mensuel de 0,26% est de ____ 3,16% ce qui est différent de $12\times 0,0026=0,0312$.