
\documentclass[12pt]{article}

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\title{Loi binomiale, rappels, TSTMG}


\author{F.Gaudon}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Loi binomiale, rappels, classe de STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
\Large{\textbf{Loi binomiale, rappels, classe de TSTMG}}
\end{center}


\section{Schéma de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l'une n'influe pas sur le résultat de l'autre.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une expérience aléatoire ne comportant que deux issues ; l'une appelée \og{}succès\fg{} et l'autre appelée \og{}échec\fg{}. On note $p$ la probabilité de succès et $q$ la probabilité d'échec ($q=1-p$). La répétition de cette expérience $n$ fois de manière indépendante constitue \emphref{un schéma de Bernoulli} de paramètres $n$ et $p$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève 3 produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueux.\\
Sur l'arbre ci-dessus représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$, la probabilité d'avoir les deux premières expériences qui donnent un succès et la dernière qui donne un échec est $P(SS\bar{S})=0,05^2\times 0,95\approx 0,002$\\
soit 0,2 \% de chances d'avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{arbre.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}

\section{Loi binomiale}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ et soit $X$ le nombre de succès obtenus. On dit que $X$ est la \emphref{variable aléatoire} associée à ce schéma.  On dit aussi que la variable aléatoire $X$ suit une \emphref{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$.\\
Si $k$ est un entier compris entre 0 et $n$, l'événement \og{}on a obtenu $k$ succès\fg{} est noté $X=k$ et sa probabilité est notée $P(X=k)$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère le problème précédent de test des produits d'une chaîne de production. Les prélèvements étant supposés indépendants les uns des autres, l'expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,05$.\\
On a $P(X=2)=P(SS\bar{S}\cap S\bar{S}S\cap \bar{S}SS)$\\
 car trois chemins permettent d'obtenir deux succès c'est à dire deux objets défectueux.\\
D'où $P(X=2)=P(SS\bar{S})+P(S\bar{S}S)+P(\bar{S}SS)$\\
donc $P(X=2)=0,05^2\times 0,95+0,95\times 0,05\times 0,95+0,95\times 0,05^2=3\times 0,05^2\times 0,95=0,007$\\
soit une probabilité très faible de 0,007 d'avoir deux produits défectueux.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Calcul pratique de $P(X=k)$ et $P(X\leq k)$}
Soit $X$ une variable aléatoire de paramètres $n$ et $p$. Pour $k$ allant de 0 à $n$, pour calculer $P(X=k)$ ou $P(X\leq k)$, on utilise une calculatrice :
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas instrument : aller dans le menu \fbox{2nd}\fbox{distrib}, choisir \fbox{binomFdp} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X=k)$ et choisir \fbox{binomFRép} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X\leq k)$.
\nouvitem Sur Casio : aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{DIST} puis \fbox{BINM}. Sélectionner alors \fbox{Bpd} puis \fbox{Var} pour variable, puis entrer alors $k$  dans la ligne \og{}x\fg{}, $n$ dans la ligne \og{}numtrial\fg{} et $p$ dans la ligne \og{}p\fg{} puis aller sur \og{}execute\fg{} pour valider et calculer ainsi $P(X=k)$. Pour le calcul de  $P(X\leq k)$, on utilisera \fbox{Bcd} au lieu de \fbox{Bpd}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,4$.\\
Sur TI, la probabilité $P(X\leq 3)$ est donnée par \texttt{binomFrép(4,0.4,3)}.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem On a $P(X<k)=P(X\leq k-1)$ c'est à dire par exemple $P(X<3)=P(X\leq 2)$.\\
\nouvitem pour calculer $P(X>k)$, on calcule $1-P(X\leq k)$. Par exemple, $P(X>2)=1-P(X<=2)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Lorsqu'on simule un \og{}grand nombre de fois\fg{} un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, la moyenne du nombre de succès par schéma se rapproche d'un réel appelé \emphref{espérance mathématique} de la variable aléatoire $X$ que l'on note $E(X)$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
L'espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est :
$$E(X)=np$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour le problème de la chaîne de production, en prélevant $n=100$ produits indépendamment, la loi binomiale a pour paramètres $n=100$ et $p=0,05$. On a alors $E(X)=np=100\times 0,05=5$ ce qui signifie que l'on peut prévoir 5 produits défectueux pour un prélèvement de 100 produits indépendants.
\end{sanscadre}


\end{document}



