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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
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% fin modifications 2015

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\title{\'Etude de quotients, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Etude de quotients, cours, classe de terminale STMG}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents


\vspace{5cm}



\section{Dérivation de quotients}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
On considère la fonction inverse $f$ définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ pour tout $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$. Alors sa fonction dérivée est donnée par $$....$$
\end{encadrer}
}
\par
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, avec pour tout $x$ de $I$, $v(x)\neq 0$, alors $\frac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$ et $$..........$$
\end{encadrer}
}
\newpage


\section{\'Etude de quotients}

\begin{sanscadre}{Exemple 1 d'étude de quotient}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{4}{2x+3}$ pour tout $x$ appartenant à $[3;+\infty[$.\\
$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ avec \\
$u(x)=........$ et $v(x)=.........$  donc $u'(x)=.....$ et $v'(x)=......$.\\
On a $f'(x)=....$.\\
D'où $f'(x)=......$.\\
Pour tout $x$ appartenant à $[3;+\infty[$, le carré $(2x+3)^2$ est de signe ............... ................. donc $f'(x)$ est de signe ................. ...................... donc $f$ est ..................... ................. sur $[3;+\infty[$.

\end{sanscadre}

\begin {sanscadre}{Exemple 2 d'étude de fonction avec quotient}
Soit $f$ la fonction définie sur $[\frac{1}{2};+\inf[$ par $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.\\
$u(x)=..........$. $v(x)=..........$. $u'(x)=........$. $v'(x)=......$.\\
Pour tout réel $x\neq 0$,
$f'(x)=....$\\
$f'(x)=....$\\
$f'(x)=....$\\
On doit donc résoudre l'équation du second degré $x^2-1=0$.\\
$x^2-1=0$ de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=...$, $b=....$ et $c=....$.\\
$\Delta=....$.\\
$\Delta....$ donc il y a deux solutions :\\
$x_1=....$\\
et $x_2=....$\\
D'où $x_1=....$\\
et $x_2=....$\\
Donc $x_1=....$ et $x_2=....$. $....$ n'est pas dans l'intervalle.\\
On a donc le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ &  $\frac{1}{2}$ &  & .... & & $+\infty$ \\
\hline
Signe de $f'(x)$ &   & .... & ... & ... &   \\
\hline
Variations de & & & .... & & \\
$f(x)$ &  & .... & & .... &  \\
 & & & .... &  & \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\end{document}
