Dérivation de fonctions polynomes, cours, classe de TSTMG
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I - Fonction dérivée
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dont l'expression algébrique est donnée dans la première colonne du tableau ci-dessous. On appelle fonction dérivée de la fonction $f$ la fonction $f'$ dont l'expression algébrique $f'(x)$ est donnée dans le tableau ci-dessous. Pour tout réel $a$ de l'ensemble de définition de $f'$, on appelle nombre dérivé $f'(a)$ l'image de $a$ par $f'$. On dit alors que $f$ est dérivable en $a$.
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$f(x)$ | $f'(x)$ | Ensemble de définition de $f'$ |
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$ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$, $c$ réels | ____$2ax+b$ | $\mathbb{R}$ |
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$ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ réels | ____$3ax^2+2bx+c$ | $\mathbb{R}$ |
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constante réelle $k$ | ____0 | $\mathbb{R}$ |
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$x$ | ____1 | $\mathbb{R}$ |
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$mx+p$ avec $m$ et $p$ réels | ____$m$ | $\mathbb{R}$ |
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$x^2$ | ____$2x$ | $\mathbb{R}$ |
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$x^n$ avec $n$ entier naturel no nul | ____$nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
II - Opérations sur les fonctions dérivables
Propriété : Somme
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors
$u+v$ est définie et dérivable sur $I$ et :
____$$(u+v)'=u'+v'$$
Exemple :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x+3x^2$.
- Méthode 1 : On peut poser $u(x)=x$ et $v(x)=3x^2$.
$u$ et $v$ sont deux fonctions de référence. On a pour tout $x$ strictement positif $u'(x)=1$ et $v'(x)=6x$
donc $f'(x)=$____$1+6x$.
- Méthode 2 : $f$ est une fonction polynôme du 2nd degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=3$, $b=1$ et $c=0$.
D'où la dérivée est donnée par $f'(x)=$____$2ax+b=2\times 3x+1=6x+1$.
Propriété : Mutliplication par un nombre réel k
Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel, alors
$ku$ est définie et dérivable sur $I$ et :
____$$(ku)'=ku'$$
Exemple :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x^3$.
- Méthode 1 : on peut poser $u(x)=x^3$, la fonction $u$ est une fonction de référence
et on a pour tout $x$ réel $u'(x)=3x^2$ donc $f'(x)=$____$5\times 3x^2=15x^2$.
- Méthode 2 : on remarque que $f$ est une fonction polynôme du troisième degré $f(x)=ax^3+bx^2+cx+s$ avec $a=5$, $b=0$, $c=0$ et $d=0$.
On a alors $f'(x)=$____$3ax^2+2bx+c=3 \times 5x^2+ 2\times 0x + 0=15x^2$.
III - Etude de fonctions
1 - Du sens de variation au signe de la dérivée
Propriété :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$,____ $f'(x)\geq 0$ ;
- si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$,____ $f'(x)\leq 0$ ;
- si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$,____ $f'(x)=0$.
Exemple :
Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
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$x$ | -3 | | -1 | | 0 | | 5 |
|
variations de | 4 | | | | 1 | | |
| $f(x)$ | | $\searrow$ | | $\nearrow$ | | $\searrow$ | |
| | | | -2 | | | | 0 |
Alors la fonction dérivée $f'$ a pour tableau de signes :
____
|
$x$ | -3 | | -1 | | 0 | | 5 |
|
$f'(x)$ | | - | 0 | + | 0 | - | |
2 - Du signe de la dérivée au sens de variation
Propriété :
- Si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)>0$ sauf en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est____ strictement croissante sur $I$ ;
- si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x) < 0$ sauf en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est ____strictement décroissante sur $I$ ;
- si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est ____constante sur $I$.
Exemple avec un tableau de signes
Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
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$x$ | -3 | | -2 | | 0 | | 5 |
| signe de $f'(x)$ | | + | 0 | - | 0 | + | |
Le tableau de variations de $f$ est :
____
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$x$ | -3 | | -2 | | 0 | | 5 |
| variations de | | | | | | | |
| $f(x)$ | | $\nearrow$ | | $\searrow$ | | $\nearrow$ | |
| | | | | | |
Exemple par le calcul
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3+5$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=$____$4\times 3x^2=12x^2$.
Donc pour tout réel $x$, $f'(x)>0$ et par conséquent, $f$ est une fonction ____ croissante sur $\mathbb{R}$.
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
- Dire que $f(x_0)$ est un maximum local de $f$ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_0$ tel que pour tout $x$ de $J$, $f(x)\leq f(x_0)$ .
- Dire que $f(x_0)$ est un minimum local de $f$ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_0$ tel que pour tout $x$ de $J$, $f(x)\geq f(x_0)$.
- Un minimum local ou un maximum local est appelé un extremum local.
Propriété :
Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ ouvert (c'est à dire de la forme $]a;b[$)
- Si $f$ admet un maximum ou un minimum en $x_0\in I$ avec $x_0$, alors ____$f'(x_0)=0$ ;
- si $f'$ s'annule en $x_0$ en____ changeant de signe, alors $f$ admet en $x_0$ un extremum local.
Visualisation
Cas d'un minimum :
____
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$x$ | | | $x_0$ | | |
| Signe $f'(x)$ | | - | 0 | + | |
| Variations | | | | | |
| $f(x)$ | | $\searrow$ | | $\nearrow$ | |
| | | $f(x_0)$ | | |
Cas d'un maximum :
____
|
$x$ | | | $x_0 $ | | |
| Signe $f'(x)$ | | + | 0 | - | |
| Variations | | | $f(x_0)$ | | |
| $f(x)$ | | $\nearrow$ | | $\searrow$ |
| | | | | |
III - Exemples d'étude de fonctions polynômes
Exemple 1 :
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; +\infty [$ par $f(x)=3x^2+7x$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=$____$6x+7$.
$f'(x)= 0$ si et seulement si ____$6x+7= 0$ c'est à dire $x= \frac{-7}{6}$.
On a donc le tableau de variations suivant compte tenu de $m=6$ de signe positif :
____
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$x$ | $-\infty$ | | $-\frac{7}{6}$ | | $+\infty$ |
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$f'(x)$ | | - | 0 | + | |
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$f(x)$ | | $\searrow$ | $f(-\frac{7}{6})$ | $\nearrow$ | |
|
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Exemple 2 :
Soit $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^3-x^2-x-1$.
Alors $f'(x)=$____$3x^2-2x-1$.
$f'$ est une fonction polynôme du second degré.
On résout l'équation $3x^2-2x+1=0$.
____
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 3\times (-1)=16>0$.
Il y a deux solutions réelles :
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+4}{6}=1$
et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}$.
En outre $a=3$ est positif donc la parabole a ses branches tournées vers ____le haut.
D'où le tableau de variations :
____
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$x$ | $-\infty$ | | $-\frac{1}{3}$ | | 1 | | $+\infty$ |
| $f'(x)$ | | + | 0 | - | 0 | + | |
| | | | $\approx -0,81$ | | | | |
| $f(x)$ | | $\nearrow$ | | $\searrow$ | | $\nearrow$ | |
| | | | | | $-2$ | | |