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\title{Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Etude de fonctions polynômes, cours, classe de terminale STMG}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage
\section{Fonction dérivée}

\pdfrowcolors{lightgray}


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dont l'expression algébrique est donnée dans la première colonne du tableau ci-dessous. On appelle .............. de la fonction $f$ la fonction notée ........ dont l'expression algébrique ........... est donnée dans le tableau ci-dessous. Pour tout réel $a$ de l'ensemble de définition de $f'$, on appelle ................ ................ $f'(a)$ l'image de $a$ par $f$. On dit alors que $f$ est .................. en $a$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$f(x)$ & $f'(x)$ & ensemble de définition de $f'$\\
\hline
$ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$, $c$ réels& ................. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ réels & .................... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
constante réelle $k$ & ........... & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & ............ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$mx+p$ avec $m$ et $p$ réels & ....... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & ....... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$ avec $n$ entier naturel & ............... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



\section{Opérations sur les fonctions dérivables}


\subsection{Somme}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$, alors
$u+v$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$(u+v)'=..................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x+3x^2$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Méthode 1 : On peut poser $u(x)=......$ et $v(x)=.........$. $u$ et $v$ sont deux fonctions de référence. On a pour tout $x$ strictement positif $u'(x)=......$ et $v'(x)=.........$ donc $f'(x)=...........$.
\nouvitem Méthode 2 : $f$ est une fonction polynôme du 2nd degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=.....$, $b=.....$ et $c=.....$. D'où la dérivée est donnée par $f'(x)=...................................$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\subsection{Multiplication par un nombre réel $k$}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel, alors
$ku$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$$(ku)'=.........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x^3$.
\begin{itemize}
\nouvitem Méthode 1 : on peut poser $u(x)=.......$, la fonction $u$ est une fonction de référence et on a pour tout $x$ réel  $u'(x)=..........$ donc $f'(x)=...................$.
\nouvitem Méthode 2 : on remarque que $f$ est une fonction polynôme du 3\up{e} degré $f(x)=ax^3+bx^2+cx+s$ avec $a=...$, $b=.....$, $c=....$ et $d=.....$. On a alors $f'(x)=3ax^2+2bx+c=..................................$.
\end{itemize} 
\end{sanscadre}

\section{\'Etude de fonctions}

\subsection{Du sens de variation au signe de la dérivée}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $..................$ ;
\nouvitem si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $....................$ ;
\nouvitem si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ de $I$, $.................$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 & & -1 & & 0 & & 5\\
\hline
 variations de& 4 & & & & 1 & & \\
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
 & & & -2 & & & & 0 \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 Alors la fonction dérivée $f'$ a pour tableau de signes :
 \begin{center}

 \begin{tabular}{|c|lcccccr|}
 \hline
 $x$ & ... & & ... & & ... & & ...\\
\hline
 $f'(x)$ & & ... & ... & ... & ... & ... & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\end{sanscadre}

\subsection{Du signe de la dérivée au sens de variation}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)>0$ sauf en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est ............... ................. sur $I$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)<0$ sauf en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est ............... ................. sur $I$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est ..................... sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple avec un tableau de signes}
Soit $f$ une fonction définie sur $[-3 ; 5]$ et telle que :
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 &  & -2 & & 0 & & 5\\
\hline
signe de $f'(x)$ & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent Le tableau de variations de  $f$ est :
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & -3 &  & -2 & & 0 & & 5\\
\hline
variations de & & & & & & & \\
$f(x)$ & & .............. & & .......... & & ............ & \\
 & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple par le calcul}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^3+5$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=...............................$. Donc pour tout réel $x$, $f'(x)...........$ et par conséquent, $f$ est une fonction ......................... .................. sur $\mathbb{R}$.


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem Dire que $f(x_0)$ est un \emphref{maximum local}  de $f$ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_0$ tel que pour tout $x$ de $J$, $f(x)\leq f(x_0)$ .
\nouvitem Dire que $f(x_0)$ est un  \emphref{minimum local} de $f$ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ et contenant $x_0$ tel que pour tout $x$ de $J$,  $f(x)\geq f(x_0)$.
\nouvitem Un minimum local ou un maximum local est appelé un extremum local.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{derivationPolynomesImgMaximum.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ ouvert (c'est à dire de la forme $]a;b[$)
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ admet un maximum ou un minimum en $x_0\in I$ avec $x_0$, alors .................. ;
\nouvitem si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet en $x_0$ un extremum local.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Visualisation}
\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
Cas d'un minimum :
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & & & $x_0$ & & \\
\hline
Signe de $f'(x)$ & & .... & .... & .... & \\
\hline
Variations& & &.... &  & \\
$f(x)$ & & ...... & & ...... & \\
& & & ...... & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
Cas d'un maximum :
\end{center}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & & & $x_0 $ & & \\
\hline
Signe $f'(x)$ & & ... & .... & ... & \\
\hline
Variations & & & ....... &  & \\
$f(x)$ & & ....... &  & ....... & \\
& & & .... &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Exemples d'étude de fonctions polynômes}

\begin{sanscadre}{Exemple 1 }
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; +\infty [$ par $f(x)=3x^2+7x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=..........$.\\
$f'(x)= 0$ si et seulement si .............. c'est à dire $x=..............$.\\
On a donc le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ........... & & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & ... & ... & ... & \\
\hline
$f(x)$ & & ..... & ......... & ........ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple 2}
Soit $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^3-x^2-x-1$.\\
Alors $f'(x)=..........$. $f'$ est une fonction polynôme du second degré.\\ On résout l'équation $................$.\\
........\\
Il y a deux solutions réelles :\\
$x_1=.....$\\
et $x_2=.....$.\\
$a$ est de signe .......... donc la ................ a ses branches tournées vers .............. D'où le tableau de variations :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & ......... & & ..... & & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & .... & .... & .... & ... & ... & \\
\hline
 & & &  ..... & & & & \\
$f(x)$ &...... & ...... & ....... & ....... & ....... & ..... & \\
 & & & & &  & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\end{sanscadre}

\end{document}