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\title{Statistiques à une ou deux variables, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Statistiques à une ou deux variables, cours, classe de terminale STMG}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage





\section{Statistiques à une variable (rappels)}

\begin{encadrer}{Propriété (couple moyenne/écart type)}
Soient $x_i$ pour $i$ allant de 1 à $p$ où $p$ est un entier les valeurs distinctes d'une série statistique et $n_i$ pour $i$ allant de 1 à $p$ les effectifs correspondants. On note $N$ l'effectif total, somme des $n_i$ pour $i$ allant de 1 à $p$. On définit :
\begin{itemize}
\nouvitem \emphref{La moyenne pondérée} notée $\bar{x}$  :\par
$$\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_px_p}{n_1+n_2+\ldots+n_p}$$\par
\nouvitem \emphref{L'écart type $\sigma$} qui mesure la dispersion autour de la moyenne.\par
On utilisera la calculatrice pour déterminer l'écart type.\par
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On a relevé le prix de la baguette de pain dans différentes boulangeries :\par
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix en euros ($x_i$) & 0,82 & 0,83 & 0,84 & 0,85 & 0,86 & 0,87 \\
\hline
Nombre de boulangeries ($n_i$) & 10 & 42 & 85 & 23 & 18 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La moyenne est donnée par :\par
$\bar{x}=\frac{10\times 0,82+42\times 0,83+85\times 0,84+23\times 0,85+18\times 0,86+2\times 0,87}{10+42+85+23+18+2}\approx 0,84$\euro{}\par
\noindent L'écart type est 0,01 \euro{} environ ce qui signifie qu'il y a un faible écart entre les prix du pain dans les différentes boulangeries.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition (couple médiane/quartiles)}
\begin{itemize}
\nouvitem La médiane d'une série statistique est une valeur du caractère telle que la moitié des effectifs lui sont supérieurs ou égaux et la moitié des effectifs lui sont inférieurs ou égaux.
\nouvitem Le premier quartile est la plus petite valeur pour laquelle au moins 25\,\% des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
\nouvitem le troisième quartile est la plus petite valeur pour laquelle au moins 75\,\% des valeurs lui sont inférieures ou égales.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition (diagramme en boîte)}
Le diagramme en boîte permet de résumer les différentes caractéristiques statistiques suivantes :
\begin{itemize}
\nouvitem Le maximum et le minimum ;
\nouvitem le premier et le troisième quartile ;
\nouvitem la médiane. 
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{statistiquescours1l.png}
\end{center}



\section{Statistiques à deux variables}

\subsection{Vocabulaire}


\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x$ et $y$ deux caractères quantitatifs d'une même population. A chaque individu de la population on associe un couple $(x_i;y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ pour $i\in\{1;\ldots;n\}$ avec $n$ entier naturel sont les valeurs prises respectivement par $x$ et $y$. L'ensemble de ces couples constitue une \emph{série statistique à deux variables} $x$ et $y$.
\nouvitem Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, l'ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$ est appelé \emphref{nuage de points} associé à la série statistique.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un magasin réalise une étude sur l'influence du prix de vente sur le nombre de machines à laver vendues au cours d'une année. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :\par
\begin{flushleft}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix $x_i$ en euros & 300 & 350 & 400 & 450 & 500 & 600\\
\hline
Nombre de machines vendues & 210 & 190 & 160 & 152 & 124 & 102\\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
Le nuage de points associé à cette série est constitué des points $M_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 dont les coordonnées sont $(300;210)$, $(350;190)$,...,$(600;102)$.\par
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTGsanslegende.png}
\end{center}

\subsection{Ajustement d'un nuage de points}


\begin{encadrer}{Définition}
Toute droite "résumant approximativement" le nuage est appelée \emph{droite d'ajustement affine} du nuage de points.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Il existe d'autres types d'ajustement : dans certains cas, on peut observer que visiblement une droite ne convient pas mais que le nuage de points semble être approché par un autre type de courbe, parabole par exemple. En outre, certains nuages peuvent ne pas sembler être approchables par une quelconque courbe auquel cas les deux variables ne sont pas reliées entre elles.
\end{sanscadre}

\subsection{Détermination d'une équation de droite d'ajustement affine}

\begin{encadrer}{Méthode graphique au jugé}
On trace \og{}au jugé\fg{} une droite  qui \og{}semble résumer\fg{} le nuage de points. C'est une méthode simple mais qui dépend de la droite tracée.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTG.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Méthode des moindres carrés}
Avec les notations de la figure ci-dessous, étant donné un nuage de $n$ points $M_i$, il existe une droite passant par le point moyen $G$ et telle que la somme des carrés des écarts (ou \emph{résidus}) $P_1M_1^2+P_2M_2^2+\ldots+P_nM_n^2$ soit minimale.
Cette droite est appelée \emph{droite de régression de $y$ en $x$}. On peut montrer que son équation réduite est $y=mx+p$ avec :
$$m=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\ldots+(x_p-\bar{x})(y_p-\bar{y})}{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_p-\bar{x})^2}$$
et 
$$p=\bar{y}-m\bar{x}$$
En pratique, on utilisera la calculatrice pour l'obtenir.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg1TSTG.png}
\end{center}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
On reprend l'exemple précédent.
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de l'équation réduite à l'aide des formules :\par
\begin{flushleft}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i-\bar{x}$ & $y_i-\bar{y}$ & $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ & $(x_i-\bar{x})^2$ \\
\hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline 
 & Total & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
\noindent D'où $m\approx -0,37$\par
\noindent et $p\approx 315,06$\par
\nouvitem Recherche de l'équation réduite avec la calculatrice :\par
\begin{itemize}
\item[*] TI 82 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{EDIT}. Entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne $L_1$ et les valeurs $y_i$ dans la colonne $L_2$. Quitter (\fbox{2nde} \fbox{QUIT}) puis menu \fbox{STAT} et \fbox{CALC}. Choisir \fbox{LinReg(ax+b)} puis \fbox{2nd}\fbox{L1}\fbox{,}\fbox{2nd}\fbox{L2} pour indiquer les deux colonnes à utiliser. Valider ensuite \fbox{ENTER}.
\item[*] CASIO Graph 25 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne 1 et les valeurs $y_i$ dans la colonne 2. Choisir ensuite \fbox{CALC} puis \fbox{REG} puis \fbox{X}.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{sanscadre}




\end{document}
