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\title{Suites de nombres, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Suites, cours, terminale STMG}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Suites arithmétiques}

\subsection{Définition}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $r$ un nombre réel. On appelle \emphref{suite arithmétique} de \emphref{raison} $r$ toute suite définie par son premier \emphref{terme} et pour tout entier naturel $n$ par la relation :
$$u_{n+1}=u_n+r$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=56$ et $u_{n+1}=u_n-4$.\\
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison -4.\\
On a $u_1=u_0-4=56-4=52$, $u_2=52-4=48$, $u_3=48-4=44$.\\
\end{sanscadre}

\subsection{Expression en fonction de $n$}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si le premier terme est $u_0$, alors pour tout entier $n$, $$u_n=u_0+nr$$
\nouvitem si le premier terme est $u_1$, alors pour tout entier $n$, $$u_n=u_1+(n-1)r$$
\end{itemize}
De manière plus générale,  pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ avec $p&lt;n$ on a :
$$u_{n}=u_p+(n-p)r$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme $u_0=56$. On a par exemple, $u_{12}=u_0+12r=56+12\times (-4)=8$ ou encore $u_{15}=u_12+3r=8+3\times (-4)=8-12=-4$.
\end{sanscadre}


\subsection{Reconnaissance}

\begin{encadrer}{Propriété}
On considère une suite $(u_n)$. $(u_n)$ est une suite arithmétique si et seulement si les points constituant sa représentation graphique dans un repère du plan sont alignés.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par $u_n=-4+2n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{suitescoursimggraphe.pdf}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et $p$ et $n$ deux entiers naturels distincts.\par
Alors la raison $r$ de la suite est donnée par :
$$r=\frac{u_n-u_p}{n-p}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique vérifiant $u_{10}=34$ et $u_{16}=43$. On recherche la raison de la suite.\\
On a $u_{16}=u_{10}+6\times r$ où $r$ est la raison de la suite. D'où $43=34+6r$ c'est à dire $r=\frac{43-34}{6}=1,5$.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Suites géométriques}

\subsection{Définition}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $q$ un réel. On appelle suite \emphref{géométrique} de \emphref{raison} $q$ toute suite définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et telle que pour tout entier naturel $n\geq 0$ (ou $n\geq 1$) :
$$u_{n+1}=qu_n$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 2.\\
On a $u_2=3\times 2=6$, $u_3=6\times 2=12$, $u_4=12\times 2=24$, etc.
\end{sanscadre}

\subsection{Expression en fonction de $n$}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme :
\begin{itemize}
\nouvitem $u_0$, alors $u_n=q^nu_0$ ;
\nouvitem $u_1$, alors $u_n=q^{n-1}u_1$.
\end{itemize}
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p&lt;n$, on a :
$$u_n=u_p\times q^{n-p}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$. \\
On a par exemple $u_{12}=u_0\times q^{12}=5\times 2^{12}=5 \times 4096=20480$.
\end{sanscadre}

\subsection{Reconnaissance}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_0$.\par
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que pour tous les entiers naturels $n$, $u_{n+1}=qu_n$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La suite $(v_n)$ définie par  $v_n=\frac{3}{2^n}$. $v_n$ s'écrit $3\times \frac{1}{2^n}$ donc $3\times(\frac{1}{2})^n$ d'où la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $3$.
\end{sanscadre}

\section{Application à la gestion}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un capital $C_0$  est placé pendant $n$ années au taux annuel de $t$ \% avec intérêts composés. Alors, au bout de $n$ années, le capital  disponible $C_n$ est :
$$C_n=C_0\times (1+t)^n$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $C_n$ est appelé  \emphref{valeur acquise} par le capital $C_0$ pendant $n$ années au taux de $t$ \%.
\nouvitem $C_0$ est appelé \emphref{valeur actuelle} de $C_n$. On a $C_0=\frac{C_n}{(1+t)^n}$.
\nouvitem Deux taux correspondants à des périodes de placement différentes sont dits \emphref{équivalents} lorsque, à intérêts composés, ils donnent la même valeur acquise du capital au bout du même temps de placement.
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$C_0$ est placé à 0,26 \% par mois avec intérêts composés sur 12 mois. \\
On a :\par $C_{12}=C_0\times(1+\frac{0,26}{100})^{12}\approx C_0\times1,0317$\\
Donc le taux annuel équivalent au taux mensuel de 0,26\,\% est 3,17\,\%.
\end{sanscadre}

\end{document}
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