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\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{systemedeq}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 & = & #2 \\ #3 & = & #4 \\ \end{array} \right.}

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\title{Probabilités conditionnelles, cours de Terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Probabilités conditionnelles, cours, classe de terminale STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
\LARGE Probabilités conditionnelles, cours, terminale STG
\end{center}

\section{Rappels sur les intersections et les réunions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ .......... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ .......... $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=.............$, on dit que $A$ et $B$ sont ........................... ou .....................
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ ........... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ ........... $B$, c'est à dire .................... ............... des deux événements.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement ................... ............. ou ............. .............. de $A$ est l'ensemble des issues qui .................. .................. .............. 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$.............$$
\nouvitem En particulier, si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
\nouvitem Pour tout événement $A$, 
$$.................$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescoursimgvennintersection.png}
\end{center}


\section{Notion de probabilité conditionnelle}
\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout événement $A$ et tout événement $B$ non impossible, on appelle \emphref{probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$} et notée $P_B(A)$ le nombre $$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple 1}
Lors d'un sondage, 50\% personnes des interrogées déclarent pratiquer un sport régulièrement et 75\% des
personnes interrogées déclarent aller au cinéma régulièrement. De plus, 40\% des personnes déclarent faire du sport et aller au cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et on considère les événements \og{}la personne interrogée pratique un sport régulièrement\fg{} et \og{}la personne interrogée va au cinéma régulièrement\fg{} que l'on notent $S$ et $C$ respectivement.
On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un sport régulièrement sachant qu'elle va régulièrement au cinéma.

On a $P(C)=0,75$ et $P(S\cap C)=0,4$. Donc $P_C(S)=...$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Soient $A$ et $B$ deux événements non impossibles d'un univers donné. La connaissance de la probabilité d'un événement $B$ et de la probabilité conditionnelle d'un événements $A$ sachant $B$ permet de retrouver la probabilité $P(A\cap B)$ de l'intersection de $A$ et $B$ avec la formule :
$$....$$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple 2}
La tableau suivant montre la répartition du personnel dans une usine :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & Cadres & Ouvriers & Total \\
 \hline
 Hommes & 100 & 200 & 300 \\
 \hline
 Femmes & 50 & 150 & 200 \\
 \hline
 Total & 150 & 350 & 500 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
On rencontre un employé au hasard. On note $H$ l'événement \og{}l'employé rencontré est un homme\fg{} et $C$ l'événement \og{} l'employé rencontré est un cadre\fg{}.\par
\begin{doublespace}
\noindent On a $P(H)=.............$ et $P_H(C)=......................$. $P_H(\bar{C})=...........$.\par
\noindent On a  $P_H(C)+P_H(\bar{C})=1$. \par
\noindent En outre, $P(H\cap C)=............................................$.\par
\end{doublespace}
\end{sanscadre} 


\section{Arbre pondérés}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{probabilitescoursTSTGimg1.jpg}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Le schéma ci-dessus est appelé \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités}. Il comporte 4 \emphref{chemins} : $A\cap B$, $A\cap \bar{B}$, ............. et ............ Un \emphref{noeud} est un point d'où partent plusieurs branches.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{onehalfspace}
Dans un \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités} comme ci-dessus,
\begin{itemize}
\nouvitem La ........................ des probabilités portées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1. Par exemple, .................................................. ;
\nouvitem la probabilité d'un chemin est .................................. des probabilités portées par ses branches. Par exemple, ................................................... ;
\nouvitem la probabilité d'un événement est .............................. des probabilités des chemins qui le compose. Par exemple, .....................................................
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{probabilitescoursTSTGimg2.png}
\end{center}
Sur l'arbre ci-dessus :
\begin{itemize}
\nouvitem $P_B(A)=$.... ; $P_{\Bar{B}}(\bar{A})=$.... ; $P(B)=$.... ;
\nouvitem $P(\bar{B})=$.... ;
\nouvitem $P_B(\bar{A})=$..... ;
\nouvitem $P(B\cap A)=$.... ;
\nouvitem $P(A)=$...................... ....................... ....................... .................... ................... .
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}



