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\title{Probabilités conditionnelles, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Proabbilités conditionnelles, cours, classe de terminale STMG}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Rappels sur les intersections et les réunions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.

\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ \emphref{inter} $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ \emphref{et} $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont \emphref{disjoints} ou \emphref{incompatibles}.
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ \emphref{ou} $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ \emphref{ou} $B$, c'est à dire au moins un des deux événements.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement \emphref{contraire} de $A$ ou \emphref{complémentaire} de $A$ est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas $A$.
\end{itemize}

\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
\nouvitem Pour tout événement $A$, 
$$P(\Bar{A})=1-P(A)$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescoursimgvennintersection.png}
\end{center}

\section{Notion de probabilité conditionnelle}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout événement $A$ et tout événement $B$ non impossible, on appelle \emphref{probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$} et notée $P_B(A)$ le nombre $$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Lors d'un sondage, 50\% personnes des interrogées déclarent pratiquer un sport régulièrement et 75\% des
personnes interrogées déclarent aller au cinéma régulièrement. De plus, 40\% des personnes déclarent faire du sport et aller au cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et on considère les événements \og{}la personne interrogée pratique un sport régulièrement\fg{} et \og{}la personne interrogée va au cinéma régulièrement\fg{} que l'on notent $S$ et $C$ respectivement.
On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un sport régulièrement sachant qu'elle va régulièrement au cinéma.

On a $P(C)=0,75$ et $P(S\cap C)=0,4$. Donc $P_C(S)=\frac{P(S\cap C)}{P(C)}=\frac{0,4}{0,75}\approx 0,53$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Soient $A$ et $B$ deux événements non impossibles d'un univers donné. La connaissance de la probabilité d'un événement $B$ et de la probabilité conditionnelle d'un événements $A$ sachant $B$ permet de retrouver la probabilité $P(A\cap B)$ de l'intersection de $A$ et $B$ avec la formule $P(A\cap B)=P_B(A)P(B)$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La tableau suivant montre la répartition du personnel dans une usine :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & Cadres & Ouvriers & Total \\
 \hline
 Hommes & 100 & 200 & 300 \\
 \hline
 Femmes & 50 & 150 & 200 \\
 \hline
 Total & 150 & 350 & 500 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
On rencontre un employé au hasard. On note $H$ l'événement \og{}l'employé rencontré est un homme\fg{} et $C$ l'événement \og{} l'employé rencontré est un cadre\fg{}.

On a $P(H)=\frac{300}{500}=0,6$, $P_H(C)=\frac{100}{300}=\frac{1}{3}$ et $P_H(\bar{C})=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}$. On a bien $P_H(C)+P_H(\bar{C})=1$. En outre, $P(H\cap C)=P(H)\times P_H(C)=0,6 \times \frac{1}{3}=0,2$ et $P(C)=P(C\cap H)+P(C\cap \bar{H})$.
\end{sanscadre} 

\section{Arbre pondérés}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{probabilitescoursTSTGimg1.jpg}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Le schéma ci-dessus est appelé \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités}. Il comporte 4 \emphref{chemins} : $A\cap B$, $A\cap \bar{B}$, $\bar{A}\cap B$ et $\bar{A}\cap \bar{B}$. Un \emphref{noeud} est un point d'où partent plusieurs branches.
\end{encadrer}

\newpage

\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités} comme ci-dessus,
\begin{itemize}
\nouvitem La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1 (par exemple, $P_B(A)+P_B(\bar{A})=1$) ;
\nouvitem la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches (par exemple, $P(A\cap B)=P(B) \times P_B(A)$) ;
\nouvitem la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le compose(par exemple, $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})$).
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{probabilitescoursTSTGimg2.png}
\end{center}
Sur l'arbre ci-dessus :
\begin{itemize}
\nouvitem $P_B(A)=0,4$ ; $P_{\Bar{B}}(\bar{A})=0,7$ ; $P(B)=0,2$ ;
\nouvitem $P(\bar{B})=1-P(B)=0,8$ ;
\nouvitem $P_B(\bar{A})=1-P_B(A)=1-0,4=0,6$ ;
\nouvitem $P(B\cap A)=P(B)\times P_B(A)=0,2\times 0,4=0,08$ ;
\nouvitem $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})=0,2\times 0,4+0,8\times 0,3=0,32$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}




\end{document}



