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\title{Lois normales, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Lois normales, cours, classe de terminale STMG}}
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\maketitle





\pdfrowcolors{lightgray}

\section{\'Etude des lois normales}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de l'intervalle $[0;1]$. Lorsque $n$ devient \og{}grand\fg{} et si $np>5$ le diagramme en bâton représentant la loi binomiale $X_n$ de paramètres $n$ et $p$ se \og{}rapproche\fg{} d'une courbe ayant la forme d'une \og{} cloche\fg{}. On dit alors que la variable aléatoire suit une \emphref{loi normale} \emphref{d'espérance} $\mu=np$ et \emphref{d'écart type} $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Représentation graphique de la loi normale d'espérance $\mu=0$ et d'écart type $\sigma=1$ appelée loi normale \emphref{centrée réduite}.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{loinormalefig1.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{encadrer}{Propriété}
La courbe d'une loi normale est symétrique par rapport à une droite parallèle à l'axe $(Oy)$ et d'équation $x=\mu$ où $\mu\in\mathbb{R}$ est \emphref{l'espérance} de la loi normale. 
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale, pour tout réel $b$, la probabilité $P(X\leq b)$ est l'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et à gauche de la droite d'équation $x=b$.
\end{encadrer}


\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{lc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Ci-contre, l'aire correspondant à la probabilité $P(X\leq 650)$ pour la loi normale d'espérance $\mu=500$ et d'écart type $\sigma=100$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{loinormalefig2.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale  d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$.
 \begin{itemize}
  \nouvitem L'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1 ;
  \nouvitem $P(X\leq \mu)=\frac{1}{2}$ c'est à dire que l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et à gauche de la droite d'équation $x=\mu$ est $\frac{1}{2}$ ;
  \nouvitem Pour tout réel $b$, $P(X> b)=1-P(X\leq b)$ ;
  \nouvitem Pour tous les réels $a$ et $b$, $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$ ;
 \end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Utilisation de la calculatrice}
Pour calculer $P(a\leq X\leq b)$ :
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas Instrument : Dans le menu \fbox{distrib}, sélectionner \fbox{NormalFrép} puis taper \fbox{$a$}\fbox{,}\fbox{$b$}\fbox{,}\fbox{$\mu$}\fbox{,}\fbox{$\sigma$}\fbox{)}
\nouvitem Sur Casio : Dans le menu \fbox{STAT} choisir \fbox{DIST} puis \fbox{NORM} et \fbox{ncd} puis compléter avec les paramètres $a$, $b$, $\mu$ et $\sigma$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$ alors :
$$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)\approx 0,95$$
\end{encadrer}



\section{\'Echantillonnage et estimation}

\subsection{Distinction entre échantillonnage et estimation}

\begin{encadrer}{Définition}
On considère une population d'individus.
\begin{itemize}
\nouvitem Lorsque l'on connaît ou lorsque l'on fait une hypothèse sur la proportion $p$ d'individus ayant une caractéristique donnée dans une population et que l'on effectue un nombre $n$ de tirages avec remise dans cette population, la fréquence observée appartient avec une certaine probabilité à un intervalle appelé \emphref{intervalle de fluctuation} de centre $p$ et de longueur qui diminue lorsque $n$ augmente. On parle alors de situation \emphref{d'échantillonnage}.
\nouvitem Lorsque l'on ne connaît pas la proportion d'individus ayant une caractéristique donnée, en procédant à un nombre $n$ de tirages avec remise on peut estimer à l'aide de la fréquence $f$ obtenue la proportion $p$ d'individus ayant cette caractéristique. Cette \emphref{estimation} se fait à l'aide d'un \emphref{intervalle de confiance} dont l'amplitude diminue lorsque le nombre $n$ de tirages augmente.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{\'Echantillonnage}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un intervalle de fluctuation à au moins 95 \% d'une fréquence d'un échantillon de taille $n$ est :
$$[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}]$$
où $p$ est la proportion connue dans la population ou sur laquelle on fait une hypothèse.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Remarque}
En pratique, on utilise cette propriété dès que les conditions $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ sont vérifiées.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Test d'hypothèse}
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est $p$.On fait l'hypothèse \og{}La proportion dans la population est $p$\fg{}. On observe la fréquence $f$ d'apparition de ce caractère sur un échantillon de taille $n$ et on calcule l'intervalle de fluctuation $I$ au seuil de 95\%.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f\notin I$, au risque de 5\% d'erreur (ou au seuil de confiance de 95\%), on rejette l'hypothèse que la proportion dans la population est $p$.
\nouvitem Si $f\in I$, au risque de 5\% d'erreur on ne peut pas rejeter l'hypothèse que la proportion dans la population est $p$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un fournisseur d'accès à l'internet affirme que, sur sa hotline, seuls 20\% des clients attendent plus de 5 minutes pour obtenir un interlocuteur. Une association de consommateurs interroge au hasard 200 personnes  ayant eu à s'adresser à cette hotline. Parmi ces personnes, 53 ont dû attendre plus de 5 minutes. Peut-on mettre en doute l'affirmation du fournisseur d'accès ?\par 
L'hypothèse à tester est \og{}20 \% des clients attendent plus de 5 minutes\fg{}.\par 
$\frac{53}{200}=0,265$\par 
$I=[0,2-\frac{1}{\sqrt{200}};0,2+\frac{1}{\sqrt{200}}]=[0,129;0,271]$.\par 
Or $0,265 \in I$ donc au seuil de confiance de 95\%, on accepte l'affirmation du fournisseur d'accès.
\end{sanscadre}


\subsection{Estimation}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $p$ la proportion inconnue d'apparition d'un caractère. On appelle $f$ la fréquence d'apparition du caractère sur un échantillon de taille $n$. 
Alors,  L'intervalle $$[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$$ contient pour $n$ assez grand la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
L'intervalle $[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$ est appelé \emphref{intervalle de confiance} au niveau de confiance 0,95.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Un intervalle de confiance au niveau de 95\% a une amplitude de $\frac{2}{\sqrt{n}}$ . L'amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un candidat à une élection municipale fait effectuer un sondage. Sur 100 personnes de la ville interrogées, 63 déclarent vouloir voter pour lui.\par 
$I=[0,63-\frac{1}{\sqrt{n}};0,63+\frac{1}{\sqrt{n}}]=[0,53;0,73]$\par 
On peut donc estimer que la proportion de personnes dans la ville voulant voter pour lui est comprise dans l'intervalle $I=[0,53 ; 0,73]$.
\end{sanscadre}


\end{document}
