Loi binomiale, rappels, cours, classe de TSTMG

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Etude des lois normales

Définition :

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de l'intervalle $[0;1]$.
Lorsque $n$ devient "grand" et si $np>5$ le diagramme en bâton représentant la loi binomiale $X_n$ de paramètres $n$ et $p$ se "rapproche" d'une courbe ayant la forme d'une " cloche".
On dit alors que la variable aléatoire suit une loi normale d'espérance ____ $\mu=np$ et d'écart type ____$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.

Exemple :

Représentation graphique de la loi normale d'espérance $\mu=0$ et d'écart type $\sigma=1$ appelée loi normale ____ centrée réduite.

Propriété :

La courbe d'une loi normale est symétrique par rapport à ____la droite parallèle à l'axe $(Oy)$ et d'équation $x=\mu$ où $\mu\in\mathbb{R}$ est l'espérance de la loi normale.

Propriété :

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale, pour tout réel $b$, la probabilité $P(X\leq b)$ est l'aire de la surface comprise entre ____ la courbe, l'axe des abscisses et à gauche de la droite d'équation $x=b$.

Exemple :

Ci-contre, l'aire correspondante à la probabilité ____$P(X\leq 650)$ pour la loi normale d'espérance ____$\mu=500$ et d'écart type $\sigma=100$.

Propriétés :

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$.

Utilisation de la calculatrice

Pour calculer $P(a\leq X\leq b)$ :

Propriété :

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$ alors : ____$$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)\approx 0,95$$

II - Echantillonnage et estimation

1 - Distinction entre échantillonnage et estimation

Définition :

On considère une population d'individus.

2 - Echantillonnage

Propriété :

Un intervalle de fluctuation à au moins 95 \% d'une fréquence d'un échantillon de taille $n$ est : ____ $$[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}]$$ où $p$ est la proportion connue dans la population ou sur laquelle on fait une hypothèse.

Remarque :

En pratique, on utilise cette propriété dès que les conditions $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ sont vérifiées.

Test d'hypothèse :

On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est $p$.On fait l'hypothèse "La proportion dans la population est $p$". On observe la fréquence $f$ d'apparition de ce caractère sur un échantillon de taille $n$ et on calcule l'intervalle de fluctuation $I$ au seuil de 95\%.

Exemple :

Un fournisseur d'accès à l'internet affirme que, sur sa hotline, seuls 20\% des clients attendent plus de 5 minutes pour obtenir un interlocuteur. Une association de consommateurs interroge au hasard 200 personnes ayant eu à s'adresser à cette hotline. Parmi ces personnes, 53 ont dû attendre plus de 5 minutes. Peut-on mettre en doute l'affirmation du fournisseur d'accès ?\par L'hypothèse à tester est ____"$p$=20 \% des clients attendent plus de 5 minutes".
____$f=\frac{53}{200}=0,265$
____$I=[0,2-\frac{1}{\sqrt{200}};0,2+\frac{1}{\sqrt{200}}]=[0,129;0,271]$.
Or ____$0,265 \in I$ donc au seuil de confiance de 95\%,____ on accepte l'affirmation du fournisseur d'accès.

Estimation

Propriété et définition :

Soit $p$ la proportion inconnue d'apparition d'un caractère. On appelle $f$ la fréquence d'apparition du caractère sur un échantillon de taille $n$. Alors, L'intervalle ____$$[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$$ contient pour $n$ assez grand la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
L'intervalle ____$[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$ est appelé intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95.

Remarque :

Un intervalle de confiance au niveau de 95\% a une amplitude de ____$\frac{2}{\sqrt{n}}$.
L'amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente.

Exemple :

Un candidat à une élection municipale fait effectuer un sondage. Sur 100 personnes de la ville interrogées, 63 déclarent vouloir voter pour lui.
____$I=[0,63-\frac{1}{\sqrt{n}};0,63+\frac{1}{\sqrt{n}}]=[0,53;0,73]$
On peut donc estimer que la proportion de personnes dans la ville voulant voter pour lui est comprise dans l'intervalle ____$I=[0,53 ; 0,73]$.

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