\documentclass{beamer}
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\usetheme{JuanLesPins}


\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{8cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}

\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newtheorem*{prop}{Propriété}
\newtheorem*{defntn}{Définition}
\newenvironment{propriete}{\begin{prop}\par}{\end{prop}}
\newenvironment{definir}{\begin{defntn}\par}{\end{defntn}}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}
\setbeamerfont{frametitle}{size=\scriptsize}






\title{Taux d'évolution, TSTMG}
\author{F. Gaudon}
\institute{http://mathsfg.net.free.fr}


\begin{document}

\begin{frame}
\frametitle{Taux d'évolution}
\titlepage
\end{frame}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Plan}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
  \end{frame}
}

\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{\'Evolutions}
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
\subsection{De la valeur initiale à la valeur finale}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité évolue à partir d'une valeur $y_1$ de départ d'un taux $t$ (augmentation si $t>0$, diminution si $t<0$), alors la valeur finale $y_2$ est :
$$...$$
$1+t$ est appelé le \emphref{coefficient multiplicateur} associé à la hausse ou à la baisse.
\end{encadrer}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{tauxevolutionscoursimg1.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On appelle \emphref{coefficient multiplicateur réciproque} le coefficient multiplicateur permettant de passer de $y_2$ à $y_1$. Il vaut :
$$...$$
Le taux d'évolution associé est ................ et est appelé \emphref{taux d'évolution réciproque}.
\end{encadrer}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Preuve}
$...=...$\par
$...=...$\par
$...=....$\par
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Le prix du gasoil a augmenté de 20\% en un an. Son prix actuel est de 1,07\euro{} par litre.\par
....\par
\noindent Il y a un an le litre de gasoil valait ..........
\end{sanscadre}
\end{frame}

\subsection{Trouver le taux d'évolution}
\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété}
Si une quantité varie d'une valeur initiale $y_1$ à une valeur finale $y_2$ alors le taux d'évolution est :
$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
... & =... \\
... & =... \\
... &=... \\
...&=... 
\end{align*}
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}


Le cours de l'action d'une entreprise gérant un réseau social est passé de 38 dollars à son introduction en bourse à à 26,25 dollars le 18 mai 2013.

$\frac{..................}{.........}\times 100\approx $.......... .

Le prix de l'action a donc baissé de .......... \%.


\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Dans l'exemple précédent, le coefficient multiplicateur est $\frac{4784}{5327}\approx 0,898$.\par
Le coefficient multiplicateur réciproque est .......................... d'où un taux réciproque de ................. soit .................\par
Cela signifie qu'une augmentation de 4784 points à 5327 points aurait été de ............. pas de ..................
\end{sanscadre}
\end{frame}

\section{\'Evolutions successives}
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}

\subsection{Taux global et coefficient multiplicateur global}
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsubsection]
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité subit $n$ évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ à partir d'une valeur initiale $y_1$, alors la quantité finale est  :

$$...$$
\end{encadrer}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le \emphref{coefficient multiplicateur global} est :
$$.....$$
ou
$$......$$
Le \emphref{taux d'évolution global} est :
$$......$$
ou
$$....$$
\end{encadrer}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
La population d'une ville augmente de 2,3\% en un an puis diminue de 3,4\% les deux années suivantes.

...

\noindent Le coefficient multiplicateur global est donc ..................\par
\noindent Le taux global d'évolution est ....................... soit une baisse de ...............\par
\noindent Attention : ce n'est pas la somme des taux successifs : ...............................
\end{sanscadre}
\end{frame}



\subsection{\'Equations $x^n=a$}
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsubsection]
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel. L'équation $x^n=a$ admet une unique solution dans $[0;+\infty[$, le nombre ...................... appelé ........... ........... du nombre $a$.
\end{encadrer}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
$x^{3}=64$ si et seulement si $x=............$ c'est à dire $x=.....$.
\end{sanscadre}
\end{frame}

\subsection{Application au calcul de taux moyens}

\begin{frame}
\tableofcontents[currentsubsection]
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On considère une quantité qui subit $n$ évolutions successives de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$, et donc de taux global $t=..........................$.\\
On appelle alors \emphref{coefficient multiplicateur moyen} le nombre donné par :
$$................$$
ou
$$................$$
\end{encadrer}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On appelle \emphref{taux moyen} le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre donné par :
$$................$$
ou
$$................$$
C'est le taux d'évolution, qui, s'il avait été identique à chacune des $n$ évolutions, aurait donné la même valeur finale que les différents taux $t_1$, $t_2$, etc. successivement appliqués.
\end{encadrer}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un prix initial de 100 \euro{} subit une augmentation de 2 \% puis une baisse de 30 \%.
$(1+\frac{....}{100})(1-\frac{.....}{100}))^{........}=0,714^{......}\approx ........$. En outre, $.......-1=.........$ soit ................ de baisse annuelle en moyenne. 
\nouvitem Un produit a vu son prix multiplié par 1,6 en 4 ans. Soit $t$ le taux moyen de l'augmentation. On a $(1+t)^{....}=........$ donc $1+t=1,6^{..........}$ donc $t=1,6^{.........}-1$ d'où $t\approx .......$ c'est à dire ......... \% d'augmentation par an en moyenne.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{frame}



\section{Indices de base 100}
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{indice} $i$ de base 100 d'une quantité $y_2$ par rapport à une quantité $y_2$, le nombre :

$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On suit l'évolution du prix d'un produit : il valait 16 \euro{} en 2006 et vaut 18,2 \euro{} en 2007.

...

\noindent L'indice du prix en 2007 par rapport à 2006 est donc ............
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $t$ le taux d'évolution d'une quantité $y_1$ à une quantité $y_2$. On suppose que l'on connaît l'indice $i$ de $y_2$ par rapport à $y_1$. Alors 

$$...$$
\end{encadrer}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $i=\frac{y_2}{y_1}\times 100$ par définition donc $\frac{y_2}{y_1}=\frac{i}{100}$. D'autre part, $t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$ par définition. Par conséquent,
\begin{align*}
t&=\frac{y_2}{y_1}-\frac{y_1}{y_1}\\
&=\frac{y_2}{y_1}-1\\
&=\frac{i}{100}-1
\end{align*}
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemples}
On prend pour référence de l'indice des prix des produits manufacturés l'année 2004. 
\begin{itemize}
\nouvitem Si l'indice en 2005 vaut 105,3 alors le taux d'augmentation entre 2004 et 2005 a été de  :

... 

\nouvitem Si entre 2004 et 2006, les prix ont augmenté de 9,7 \% alors l'indice des prix en 2006 est  :

...
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{encadrer}{Propriété}
Le taux d'évolution entre deux quantités est égal au taux d'évolution\par
 ...
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soient $y$ la quantité de référence pour le calcul des indices, $y_1$ et $y_2$ les deux quantités, $i_1$ et $i_2$ les indices correspondants.\par
\noindent Le taux d'évolution entre les quantités $y_1$ et $y_2$ est donné par :
$$t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$$
Or $i_1=\frac{y_1}{y}\times 100$ donc $y_1=\frac{y\times i_1}{100}$ et de même $y_2=\frac{y\times i_2}{100}$. Donc $t=\frac{\frac{y\times i_2}{100}-\frac{y\times i_1}{100}}{\frac{y\times i_1}{100}}$ ce qui donne par simplification $t=\frac{y\times i_2 - y\times i_1}{y\times i_1}$ donc $t=\frac{i_2-i_1}{i_1}$.
\end{sanscadre}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
On étudie le chiffre d'affaires d'une entreprise sur plusieurs années :
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Année & 2001 & 2002 & 2003 \\
\hline
Chiffre d'affaires & $2500$ & $2875$& $3125$ \\
\hline
Indice & 100 & .... & ....\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
L'indice du chiffre d'affaires de 2002 par rapport à 2001 est :

...

\noindent Celui de 2003 par rapport à 2001 est :

...

\noindent Le taux d'évolution entre 2002 et 2003 est : 

...

\noindent soit environ ...............
\end{sanscadre}
\end{frame}


\section{Approximations de taux faibles}
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Remarque}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour $t$ \og{}proche\fg{}  de 0, $\frac{1}{1+t}\approx 1-t$ : le taux réciproque d'une évolution pour un taux $t$ voisin de 0 est approximativement de $.....$ mais ............ ............. .
\nouvitem Pour $t$ \og{}proche\fg{} de 0, $(1+t)^n\approx 1+nt$ pour tout entier naturel $n$ : le taux moyen correspondant à $n$ évolutions successives est donc d'environ $....$ mais .............. ............ .
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem Un prix subit une augmentation de 0,2 \%. Le prix après augmentation est alors de 70 \euro{}.\par
\noindent Calcul du prix initial :\par
...\par
\noindent soit environ 69,86027.\par
\noindent Calcul du prix initial approché à l'aide de la propriété énoncée :\par
...\par
\noindent soit exactement 69,86.\par
\noindent Il y a donc une différence mais compte tenu de la situation elle est négligeable.\par

\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
\nouvitem Par contre, supposons que l'augmentation est maintenant de 2 \%.
\noindent Calcul du prix initial :\par
...\par
\noindent soit environ 68,63.\par
\noindent Calcul du prix initial approché à l'aide de la propriété énoncée :\par
...\par
\noindent soit environ 68,60.\par
\noindent La différence n'est plus négligeable.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{frame}

\end{document}
