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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}

\newenvironment{systemedeq}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 & = & #2 \\ #3 & = & #4 \\ \end{array} \right.}

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\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{}{}}

\title{Taux d'évolution, cours de Terminale STMG}





\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Taux d'évolutions, cours, classe de terminale STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
{\huge Taux d'évolutions, cours de Terminale STMG}
\end{center}


\section{\'Evolutions}

\subsection{De la valeur initiale à la valeur finale}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité évolue à partir d'une valeur $y_1$ de départ d'un taux $t$ (augmentation si $t>0$, diminution si $t<0$), alors la valeur finale $y_2$ est :
$$...$$
$1+t$ est appelé le \emphref{coefficient multiplicateur} associé à la hausse ou à la baisse.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{tauxevolutionscoursimg1.pdf}
\end{center}

\subsection{Trouver le taux d'évolution}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si une quantité varie d'une valeur initiale $y_1$ à une valeur finale $y_2$ alors le taux d'évolution est :
$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
y_2 & =........ y_1 \\
y_2 & =......... \\
y_2-y_1 &=........ \\
t &=.......... 
\end{align*}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{doublespace}
Le cours de l'action d'une entreprise gérant un réseau social est passé de 38 dollars à son introduction en bourse à à 26,25 dollars le 18 mai 2013.

$\frac{................}{....}\times 100\approx .......$.

Le prix de l'action a donc baissé de 30,93\%.
\end{doublespace}
\end{sanscadre}

\subsection{Le coefficient multiplicateur réciproque}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{coefficient multiplicateur réciproque} le coefficient multiplicateur permettant de passer de $y_2$ à $y_1$. Il vaut :
$$...$$
Le taux d'évolution associé ................ est appelé \emphref{taux d'évolution réciproque}, il donne le taux d'évolution de $y_2$ à $y_1$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{doublespace}
Le prix du gasoil a augmenté de 20\% en un an. Son prix actuel est de 1,07\euro{} par litre.\par
....\par
\noindent Il y a un an le litre de gasoil valait ..........
\end{doublespace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Pour $t$ \og{}proche\fg{}  de 0, $\frac{1}{1+t}\approx 1-t$.

Le taux réciproque d'une évolution pour un taux $t$ voisin de 0 est donc approximativement de 

...
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{doublespace}
\begin{itemize}
\nouvitem Un prix subit une augmentation de 0,2 \%. Le prix après augmentation est alors de 70 \euro{}.\par
\noindent Calcul du prix initial :\par
...\par
\noindent soit 69,86027 euros.\par
\noindent Calcul du prix initial approché à l'aide de la propriété énoncée :\par
...\par
\noindent soit 69,86 euros .\par
\noindent Il y a donc une différence mais compte tenu de la situation elle est négligeable.\par

\nouvitem Par contre, supposons que l'augmentation est maintenant de 2 \%.
\noindent Calcul du prix initial :\par
...\par
\noindent soit 68,63 euros.\par
\noindent Calcul du prix initial approché à l'aide de la propriété énoncée :\par
...\par
\noindent soit 68,60 euros.\par
\noindent La différence n'est plus négligeable.
\end{itemize}
\end{doublespace}
\end{sanscadre}



\section{\'Evolutions successives}

\subsection{Taux global et coefficient multiplicateur global}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité subit $n$ évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ à partir d'une valeur initiale $y_1$ à une valeur finale $y_n$, alors la quantité finale est  :

$$...$$


Le \emphref{coefficient multiplicateur global} est donné par :
$$......$$
ou par :
$$.....$$
Le \emphref{taux d'évolution global} est donné par :
$$.....$$
ou par :
$$......$$
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{doublespace}
\begin{itemize}
\nouvitem La population d'une ville augmente de 2,3\% en un an puis diminue de 3,4\% les deux années suivantes.

...

\noindent Le coefficient multiplicateur global est donc ................\par
\noindent Le taux global d'évolution est ....................... soit une baisse de .............\par
\noindent Attention : ce n'est pas la somme des taux successifs : .........................
\nouvitem Si la population de la ville était de 16\,000 habitants en 2010 et de 18\,000 habitants en 2012, alors le taux global d'évolution entre ces deux années est ................................ soit 12,5\% d'augmentation.
\end{itemize}
\end{doublespace}
\end{sanscadre}

\subsection{Taux moyen}
\subsubsection{\'Equations $x^n=a$}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel. L'équation $x^n=a$ admet une unique solution dans $[0;+\infty[$, le nombre ...................... appelé ........... ........... du nombre $a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$x^{3}=64$ si et seulement si $x=............$ c'est à dire $x=.....$.
\end{sanscadre}


\subsubsection{Application au calcul de taux moyen}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On considère une quantité qui subit $n$ évolutions successives de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$, et donc de taux global $t=..........................$.\\
On appelle alors \emphref{coefficient multiplicateur moyen} le nombre donné par :
$$................$$
ou
$$................$$
On appelle \emphref{taux moyen} le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre donné par :
$$................$$
ou
$$................$$
C'est le taux d'évolution, qui, s'il avait été identique à chacune des $n$ évolutions, aurait donné la même valeur finale que les différents taux $t_1$, $t_2$, etc. successivement appliqués.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un prix initial de 100 \euro{} subit une augmentation de 2 \% puis une baisse de 30 \%.
$(1+\frac{....}{100})(1-\frac{.....}{100}))^{........}=0,714^{......}\approx ........$.\\
En outre, $.......-1=.........$\\
soit ................ de baisse annuelle en moyenne. 
\nouvitem Un produit a vu son prix multiplié par 1,6 en 4 ans. Soit $t$ le taux moyen de l'augmentation. On a $(1+t)^{....}=........$\\
donc $1+t=1,6^{..........}$ donc $t=1,6^{.........}-1$\\
d'où $t\approx .......$ c'est à dire ......... \% d'augmentation par an en moyenne.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Indices de base 100}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{indice} $i$ de base 100 d'une quantité $y_2$ par rapport à une quantité $y_1$, le nombre :

$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{doublespace}
On suit l'évolution du prix d'un produit : il valait 16 \euro{} en 2006 et vaut 18,2 \euro{} en 2007.

...

\noindent L'indice du prix en 2007 par rapport à 2006 est donc ......................
\end{doublespace}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $t$ le taux d'évolution d'une quantité $y_1$ à une quantité $y_2$. On suppose que l'on connaît l'indice $i$ de $y_2$ par rapport à $y_1$. Alors 

$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $i=\frac{y_2}{y_1}\times 100$ par définition donc $\frac{y_2}{y_1}=\frac{i}{100}$. D'autre part, $t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$ par définition. Par conséquent,\\
$t=\frac{y_2}{y_1}-\frac{y_1}{y_1}$ donc $t=\frac{y_2}{y_1}-1$ et $t=\frac{i}{100}-1$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{doublespace}
On prend pour référence de l'indice des prix des produits manufacturés l'année 2004. 
\begin{itemize}
\nouvitem Si l'indice en 2005 vaut 105,3 alors le taux d'augmentation entre 2004 et 2005 a été de  :

... 

\nouvitem Si entre 2004 et 2006, les prix ont augmenté de 9,7 \% alors l'indice des prix en 2006 est  :

...
\end{itemize}
\end{doublespace}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
Le taux d'évolution entre deux quantités est égal au taux d'évolution\par
 ...
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On étudie le chiffre d'affaires d'une entreprise sur plusieurs années :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Année & 2001 & 2002 & 2003 \\
\hline
Chiffre d'affaires & $2500$ & $2875$& $3125$ \\
\hline
Indice & 100 & .... & ....\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{doublespace}
L'indice du chiffre d'affaires de 2002 par rapport à 2001 est :

...

\noindent Celui de 2003 par rapport à 2001 est :

...

\noindent Le taux d'évolution entre 2002 et 2003 est : 

...

\noindent soit environ ..................
\end{doublespace}
\end{sanscadre}


\end{document}
