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\title{Taux d'évolutions, classe de terminale STMG}



\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Taux d'évolutions, classe de terminale STMG}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{\'Evolutions}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité évolue à partir d'une valeur $y_1$ de départ d'un taux $t$ (augmentation si $t>0$, diminution si $t<0$), alors la valeur finale $y_2$ est :
$$y_2=(1+t)y_1$$
$1+t$ est appelé le \emphref{coefficient multiplicateur} associé à la hausse ou à la baisse.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{tauxevolutionscoursimg1.pdf}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si une quantité varie d'une valeur initiale $y_1$ à une valeur finale $y_2$ alors le taux d'évolution est :
$$t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{align*}
y_2 & =(1+t)y_1 \\
y_2 & =y_1+ty_1 \\
y_2-y_1 &=ty_1 \\
t &=\frac{y_2-y_1}{y_1} 
\end{align*}
\end{sanscadre}{Preuve}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Le cours de l'action d'une entreprise gérant un réseau social est passé de 38 dollars à son introduction en bourse à à 26,25 dollars le 18 mai 2013.

$\frac{26,25-38}{38}\times 100\approx -30,93$.

Le prix de l'action a donc baissé de 30,93\%.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le coefficient multiplicateur permettant de passer de $y_2$ à $y_1$ est $\frac{1}{1+t}$. Le taux d'évolution associé est $\frac{1}{1+t}-1$ et est appelé \emphref{taux réciproque}.
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{align*}
y_2&=(1+t)y_1\\
y_1&=\frac{y_2}{1+t}\\
y_1&=\frac{1}{1+t}y_2\\
\end{align*}
\end{sanscadresansflush}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Le prix du gasoil a augmenté de 20\% en un an. Son prix actuel est de 1,07\euro{} par litre.

$1,07\div(1+\frac{20}{100})\approx 0,89$. Il y a un an le litre de gasoil valait 0,89\euro.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans l'exemple du cours de bourse précédent, le coefficient multiplicateur est $\frac{4784}{5327}\approx 0,898$. Le coefficient multiplicateur réciproque est $\frac{5327}{4784}\approx 1,114$ d'où un taux réciproque de 0,114 soit 11,4\% ce qui signifie qu'une augmentation de 4784 points à 5327 points aurait été de 11,4\%, pas de 10,2\%.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Remarque}
 Pour $t$ \og{}proche\fg{}  de 0, $\frac{1}{1+t}\approx 1-t$ : le taux réciproque d'une évolution pour un taux $t$ voisin de 0 est approximativement de $-t$ mais ne lui est pas égal.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un prix subit une augmentation de 0,2 \%. Les prix après augmentation est alors de 70 \euro{}. On a $70\div (1+\frac{0,2}{100})\approx 69,86027$ ou $70\times \frac{1}{1+\frac{0,2}{100}}\approx 69,86027$ mais $70\times (1-\frac{0,2}{100})= 69,86$. Il y a donc une différence mais compte tenu de la situation elle est négligeable.

Par contre, si l'augmentation est de 2 \%, on a $70\times \frac{1}{1+\frac{0,2}{100}}\approx 68,63$ mais $70\times (1-\frac{2}{100})\approx 68,60$. La différence n'est plus négligeable.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Evolutions successives}

\subsection{Taux global}
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Si une quantité subit $n$ évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ à partir d'une valeur initiale $y_1$, alors la quantité finale est  :
$$y_n=(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)y_1$$

Le \emphref{coefficient multiplicateur global} est :
$$\frac{y_n}/{y_1}$$
ou
$$(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)$$
Le \emphref{taux d'évolution global} est :
$$\frac{y_n-y_1}{y_1}$$
ou
$$(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)-1$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem La population d'une ville augmente de 2,3\% en un an puis diminue de 3,4\% les deux années suivantes.
$$(1+\frac{2,3}{100})(1-\frac{3,4}{100})^2\approx 0,9546$$
Le coefficient multiplicateur global est 0,9546 soit un taux global d'évolution de $0,9546-1=-0,0453$ soit une baisse de 4,53\% (remarque : ce n'est pas la somme des taux successifs : $2,3-3,4-3,4=-4,5$).
\nouvitem Si la population de la ville était de 16\,000 habitants en 2010 et de 18\,000 habitants en 2012, alors le taux global d'évolution entre ces deux années est $\frac{18000-16000}{16000}= 0,125$ soit 12,5\% d'augmentation.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Taux moyen}
\subsubsection{\'Equations $x^n=a$}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel. L'équation $x^n=a$ admet une unique solution dans $[0;+\infty[$, le nombre $a^{\frac{1}{n}}$ appelé racine $n$-ième du nombre $a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $x^n=a$ si et seulement $\ln(x^n)=\ln(a)$ c'est  à dire $n\ln(x)=\ln(a)$ donc $\ln(x)=\frac{1}{n}\ln(a)$ d'où $x=a^{\frac{1}{n}}$ par définition de $a^{\frac{1}{n}}$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$x^{3}=64$ si et seulement si $x=64^{\frac{1}{3}}$ c'est à dire $x=4$.
\end{sanscadre}


\subsubsection{Application au calcul de taux moyens}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On considère une quantité qui subit $n$ évolutions successives de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$, et donc de taux global $t=(1+t_1)(1+t_2)\ldots(1+t_n)-1$.\\
On appelle alors \emphref{coefficient multiplicateur moyen} le nombre donné par :
$$((1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n))^{\frac{1}{n}}$$
ou
$$(1+t)^{\frac{1}{n}}$$
On appelle \emphref{taux moyen} le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre donné par :
$$((1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n))^{\frac{1}{n}}-1$$
ou
$$(1+t)^{\frac{1}{n}}-1$$
C'est le taux d'évolution, qui, s'il avait été identique à chacune des $n$ évolutions, aurait donné la même valeur finale que les différents taux $t_1$, $t_2$, etc. successivement appliqués.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un prix initial de 100 \euro{} subit une augmentation de 2 \% puis une baisse de 30 \%.
$(1+\frac{2}{100})(1-\frac{30}{100}))^{\frac{1}{2}}=0,714^{\frac{1}{2}}\approx 0,8450$. En outre, $0,8450-1=-0,1550$ soit 15,5 \% de baisse annuelle en moyenne. 
\nouvitem Un produit a vu son prix multiplié par 1,6 en 4 ans. Soit $t$ le taux moyen de l'augmentation. On a $(1+t)^4=1,6$ donc $1+t=1,6^{\frac{1}{4}}$ donc $t=1,6^{\frac{1}{4}}-1$ d'où $t\approx 0,1247$ c'est à dire 12,47 \% d'augmentation par an en moyenne.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Indices de base 100}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{indice} $i$  d'une quantité $y_2$ par rapport à une quantité $y_1$ de base 100, le nombre :
$$i=\frac{y_2}{y_1}\times 100$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On suit l'évolution du prix d'un produit : il valait 16 \euro{} en 2006 et vaut 18,2 \euro{} en 2007. On a $\frac{18,2}{16}\times 100=113,75$. L'indice du prix en 2007 par rapport à 2006 est donc 113,75.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $t$ le taux d'évolution d'une quantité $y_1$ à une quantité $y_2$. On suppose que l'on connaît l'indice $i$ de $y_2$ par rapport à $y_1$. Alors $$t=\frac{i}{100}-1$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $i=\frac{y_2}{y_1}\times 100$ par définition donc $\frac{y_2}{y_1}=\frac{i}{100}$. D'autre part, $t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$ par définition. Par conséquent,
$t=\frac{y_2}{y_1}-\frac{y_1}{y_1}$ donc $t=\frac{y_2}{y_1}-1$ d'où $t=\frac{i}{100}-1$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On prend pour référence de l'indice des prix des produits manufacturés l'année 2004. Si l'indice en 2005 vaut 105,3 alors le taux d'augmentation a été de 5,3 \%. Si entre 2004 et 2006, les prix ont augmenté de 9,7 \% alors l'indice des prix en 2006 est 109,7 \%.
\end{sanscadre}




\end{document}
