Taux d'évolution, cours, classe de TSTMG
Cliquer sur la loupe pour tout révéler ou masquer :
Cliquer sur les ____ pour révéler ou masquer élément par élément.
I - Evolutions
Propriété et définition :
Si une quantité évolue à partir d'une valeur $y_1$ de départ d'un taux $t$ (augmentation si $t>0$, diminution si $t < 0$), alors la valeur finale $y_2$ est :
____$$y_2=(1+t)y_1$$
$1+t$ est appelé le ____coefficient multiplicateur associé à la hausse ou à la baisse.
____
Propriété :
Si une quantité varie d'une valeur initiale $y_1$ à une valeur finale $y_2$ alors le taux d'évolution est :
____$$t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$$
____
Preuve :
$y_2 =(1+t)y_1$
équivaut à $y_2 =y_1+ty_1$
donc à $y_2-y_1 =ty_1$
et à $t =\frac{y_2-y_1}{y_1} $
Exemple :
[Calculer un taux d'évolution]
Le cours de l'action d'une entreprise gérant un réseau social est passé de 38 dollars à son introduction en bourse à à 26,25 dollars le 18 mai 2013.
____$\frac{26,25-38}{38}\times 100\approx -30,93$.
Le prix de l'action a donc ____baissé de 30,93%.
Propriété et définition :
Le coefficient multiplicateur permettant de passer de $y_2$ à $y_1$ est ____$\frac{1}{1+t}$.
Le taux d'évolution associé est ____
$\frac{1}{1+t}-1$ et est appelé ____taux réciproque.
____
Preuve :
$y_2=(1+t)y_1$
$y_1=\frac{y_2}{1+t}$
$y_1=\frac{1}{1+t}y_2$
Exemple :
[Calculer une quantité initiale connaissant la quantité finale après une augmentation ou une diminution en pourcentage]
Le prix du gasoil a augmenté de 20% en un an. Son prix actuel est de 1,07€ par litre.
____$1,07\div(1+\frac{20}{100})\approx 0,89$.
Il y a un an le litre de gasoil valait ____0,89€.
Exemple :
[Calculer un coefficient et un taux multiplicateur réciproques]
Dans l'exemple du cours de bourse précédent, le coefficient multiplicateur est ____$\frac{4784}{5327}\approx 0,898$.
Le coefficient multiplicateur réciproque est ____$\frac{5327}{4784}\approx 1,114$
d'où un taux réciproque de ____0,114 soit 11,4%,
ce qui signifie qu'une augmentation de 4784 points à 5327 points aurait été de ____11,4%, pas de 10,2%.
Remarque :
Pour $t$ "proche" de 0, $\frac{1}{1+t}\approx 1-t$ : ____le taux réciproque d'une évolution pour un taux $t$ voisin de 0 est approximativement de $-t$ mais ne lui est pas égal.
Exemple :
Un prix subit une augmentation de 0,2 %. Le prix après augmentation est alors de 70 €.
On a ____$70\div (1+\frac{0,2}{100})\approx 69,86027$ ou ____$70\times \frac{1}{1+\frac{0,2}{100}}\approx 69,86027$ mais ____$70\times (1-\frac{0,2}{100})= 69,86$.
Il y a donc une différence mais compte tenu de la situation elle est négligeable.
Par contre, si l'augmentation est de 2 %, on a ____$70\times \frac{1}{1+\frac{0,2}{100}}\approx 68,63$ mais ____ $70\times (1-\frac{2}{100})\approx 68,60$.
La différence n'est plus négligeable.
II - Evolutions successives
Propriété et définition
Si une quantité subit $n$ évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ à partir d'une valeur initiale $y_1$, alors la quantité finale est :
____$$y_n=(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)y_1$$
Le coefficient multiplicateur global est :
____$$\frac{y_n}{y_1}$$
ou
____$$(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)$$
Le taux d'évolution global est :
____$$\frac{y_n-y_1}{y_1}$$
ou
____$$(1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n)-1$$
Exemples :
[Calculer un coefficient multiplicateur et un taux global]
- La population d'une ville augmente de 2,3% en un an puis diminue de 3,4% les deux années suivantes.
____$$(1+\frac{2,3}{100})(1-\frac{3,4}{100})^2\approx 0,9546$$
Le coefficient multiplicateur global est ____0,9546 soit un taux global d'évolution de ____$0,9546-1=-0,0453$ soit une baisse de ____4,53% (remarque : ce n'est pas la somme des taux successifs : $2,3-3,4-3,4=-4,5$).
- Si la population de la ville était de 16000 habitants en 2010 et de 18000 habitants en 2012, alors le taux global d'évolution entre ces deux années est :
____$\frac{18000-16000}{16000}= 0,125$ soit ____12,5% d'augmentation.
III - Taux moyen
1 - Equations $x^n=a$
Propriété
Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel. L'équation $x^n=a$ admet une unique solution dans $[0;+\infty[$, le nombre ____$a^{\frac{1}{n}}$ appelé racine $n$-ième du nombre $a$.
Preuve :
____
On a $x^n=a$ si et seulement $\ln(x^n)=\ln(a)$
c'est à dire $n\ln(x)=\ln(a)$
donc $\ln(x)=\frac{1}{n}\ln(a)$
d'où $x=a^{\frac{1}{n}}$ par définition de $a^{\frac{1}{n}}$.
Exemple :
[Calculer une racine n-ième]
$x^{3}=64$ si et seulement si____ $x=64^{\frac{1}{3}}$ c'est à dire $x=4$.
2 - Application au calcul de taux moyens
Propriété et définition :
On considère une quantité qui subit $n$ évolutions successives de taux $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$, et donc de taux global $t=(1+t_1)(1+t_2)\ldots(1+t_n)-1$.\\
On appelle alors coefficient multiplicateur moyen le nombre donné par :
____
$$((1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n))^{\frac{1}{n}}$$
ou
$$(1+t)^{\frac{1}{n}}$$
On appelle taux moyen le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre donné par :
____$$((1+t_1)(1+t_2)\ldots (1+t_n))^{\frac{1}{n}}-1$$
ou
____$$(1+t)^{\frac{1}{n}}-1$$
C'est le taux d'évolution, qui, s'il avait été identique à chacune des $n$ évolutions, aurait donné la même valeur finale que les différents taux $t_1$, $t_2$, etc. successivement appliqués.
Exemples :
[Calculer un taux moyen]
- Un prix initial de 100 € subit une augmentation de 2 % puis une baisse de 30 %.
____$(1+\frac{2}{100})(1-\frac{30}{100}))^{\frac{1}{2}}=0,714^{\frac{1}{2}}\approx 0,8450$. En outre, ____$0,8450-1=-0,1550$ soit 15,5 % de baisse annuelle en moyenne.
- Un produit a vu son prix multiplié par 1,6 en 4 ans. Soit $t$ le taux moyen de l'augmentation.
On a ____$(1+t)^4=1,6$ donc ____$1+t=1,6^{\frac{1}{4}}$
donc ____$t=1,6^{\frac{1}{4}}-1$ d'où ____$t\approx 0,1247$ c'est à dire 12,47 % d'augmentation par an en moyenne.
IV - Indices de base 100
Définition
On appelle indice $i$ d'une quantité $y_2$ par rapport à une quantité $y_1$ de base 100, le nombre :
____$$i=\frac{y_2}{y_1}\times 100$$
Exemple :
[Calculer un indice]
On suit l'évolution du prix d'un produit : il valait 16 € en 2006 et vaut 18,2€ en 2007.
On a ____$\frac{18,2}{16}\times 100=113,75$.
L'indice du prix en 2007 par rapport à 2006 est donc ____113,75.
Propriété :
Soit $t$ le taux d'évolution d'une quantité $y_1$ à une quantité $y_2$. On suppose que l'on connaît l'indice $i$ de $y_2$ par rapport à $y_1$. Alors ____$$t=\frac{i}{100}-1$$
____
Preuve :
On a $i=\frac{y_2}{y_1}\times 100$ par définition donc $\frac{y_2}{y_1}=\frac{i}{100}$. D'autre part, $t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$ par définition. Par conséquent,
$t=\frac{y_2}{y_1}-\frac{y_1}{y_1}$ donc $t=\frac{y_2}{y_1}-1$ d'où $t=\frac{i}{100}-1$.
Exemple :
[Calculer un taux à partir d'un indice et un indice à partir d'un taux]
On prend pour référence de l'indice des prix des produits manufacturés l'année 2004. Si l'indice en 2005 vaut 105,3 alors le taux d'augmentation a été de ____5,3 %.
Si entre 2004 et 2006, les prix ont augmenté de 9,7 % alors l'indice des prix en 2006 est ____109,7 %.