Limites de suites, cours, terminale S

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I - Convergence de suites

Définition :

Soit $(u_n)$ une suite. On dit que $(u_n)$ converge vers un réel $l$ ou a pour limite l lorsque ____ tout intervalle ouvert $A$ contenant $l$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang $N$ c'est à dire que pour tout $n\geq N$, $u_n\in A$. On dit alors que la suite est convergente et que $l$ est sa limite. On note ____ $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=l$.

Propriété :

Si $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors celle-ci ____ est unique.

Preuve :

En effet, supposons que $(u_n)$ converge vers une limite $l$ et soit $l'$ un réel différent de $l$. On supposera ici que $l'< l$, le cas $l'>l$ se traitant de la même manière.
Il existe donc un nombre réel $e$ positif tel que $l'+e< l-e$. Comme $(u_n)$ converge vers $l$, à partir d'un certain rang $N$, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]l-e;l+e[$ et par conséquent les termes de la suite suivant ce rang n'appartiennent pas à l'intervalle $]l'-e;l'+e[$, qui est un intervalle ouvert contenant $l'$. On a trouvé un intervalle ouvert tel que pour n'importe quel rang les termes suivants $N$ ne sont pas tous dans l'intervalle ce qui montre que la suite ne converge pas vers $l'$.

Algorithmique : [Recherche du plus petit rang d'une suite définie par récurrence pour atteindre un seuil donné]

Soit $(u_n)$ suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq p$ et convergente vers une limite $l$. L'algorithme suivant donne le rang $n$ du premier terme de la suite situé à une distance inférieure à un réel positif $e$ de la limite $l$ :

Entrées : n,p, $u_p$, l, e : nombres
Début traitement :
$u\leftarrowu_p$ ;
Affecter à n la valeur p ;
Tant que $|u-l|\geq e$ faire :
| $u\leftarrow f(u)$ ;
| $n \leftarrow n+1$ ;
Fin du tant que
Afficher n

Programmation python :

Programmation de l'algorithme précédent avec $(u_n)$ définie par $u_0$ compris entre 0 et 1 et $u_{n+1}=u_n^2$ pour tout entier naturel n. Cette suite converge vers 0.


import math
p=0
up=float(input('Entrer le premier terme u_0 (compris entre 0 et 1 strictement) : '))
e=float(input("Entrer l'imprécision e (exemples de valeurs adaptées : 0.1,0.05,0.01) : "))
u=up
n=p
while(math.abs(u)>=e):
	u=u^2
	n=n+1
print('Il a fallu ',n,'rangs')

Exemple :

Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=u_n^2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=0,75$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici) puis les termes successifs. On admettra que la suite $(u_n)$ converge vers 0 ; on a donc $l=0$ ici. $e$ désigne la différence entre les termes et la limite qui doit être obtenue.

II - Convergence de suites de référence

Propriété : limites finies de suites de référence

Les suites $(\frac{1}{n})$, $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ et $(\frac{1}{n^p})$ où $p$ est un entier naturel non nul sont convergentes et on a : ____

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^p}=0$

Preuve :

____

On considère un intervalle ouvert contenant 0. soit $a$ un réel positif strictement tel que $]-a;a[$ soit inclus dans cet intervalle. Alors il existe un nombre entier N tel que $\frac{1}{N} < a$. Comme $(\frac{1}{n})$ est décroissante, pour tout rang $n\geq N$, on a $-a < \frac{1}{n} < a$ donc $\frac{1}{n}$ qui appartient à l'intervalle. Par conséquent, la suite converge vers 0.
On considère un intervalle ouvert contenant 0. Soit $a$ un réel positif strictement tel que $]-a;a[$ soit inclus dans cet intervalle. On cherche un entier $N$ tel que $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq a$ ce qui équivaut à $\sqrt{N}\geq \frac{1}{a}$ donc à $N\geq\frac{1}{a^2}$. Soit donc $N$ tel que $N\geq \frac{1}{a^2}$, le calcul précédent montre que $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq a$ et, la suite $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ étant strictement décroissante et positive, pour tout $n\geq N$, $-a < \frac{1}{\sqrt{n}} < a$. Ceci prouve que la suite a pour limite 0.
Démarche identique aux précédentes.

III - Divergence de suites

Définition :

On dit qu'une suite est divergente si ____ elle ne converge pas.
On dit que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ ou a pour limite} $+\infty$ (resp. $-\infty$) lorsque tout intervalle de la forme $[a;+\infty[ $ où $a$ est un réel (resp. $]-\infty ;a]$), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note ____ $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ (resp. ____ $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$)

Remarque :

Une suite peut être divergente et ne pas admettre de limite, par exemple ____ $(cos(n))$.

Propriété : limites infinies en l'infini

On a : ____

$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n}=+\infty$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^p=+\infty$ avec $p$ entier naturel non nul ;
Pour tous les réels $m$ et $p$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}mx+p=signe(m)\infty$ ;

Preuve :

Pour tout intervalle $]a;+\infty[$, soit $N$ entier naturel tel que $N>a$, alors pour tout rang $n$ tel que $ n\geq N$, $n$ est dans l'intervalle $]a;+\infty[$ donc la suite diverge vers $+\infty$.
Pour tout intervalle $]a;+\infty[$, On cherche $N$ entier naturel tel que $\sqrt{N}>a$ c'est à dire $N>a^2$. Soit donc $N$ tel que $N>a^2$. Alors $\sqrt{N}>a$ et pour tout rang $n\leq N$, on a $\sqrt{n}>a$ donc la suite $(\sqrt{n})$ est divergente vers $+\infty$.
Même démarche.

IV - Propriétés : Opérations sur les limites de suites

Propriété :

Soit $(u_n)$ une suite.

si $k$ est un réel et si $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors la suite $(ku_n)$ est convergente vers ____ $kl$ ;
si $k$ est un réel et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) alors $ku_n$ diverge vers ____ $signe(k)\infty$ (resp $-signe(k)\infty$) ;

Preuve :

Si $k=0$, le résultat est évident. On supposera donc $k\neq 0$. On supposera en outre $k>0$, la démarche étant la même pour $k < 0$.

Soit $A$ un intervalle ouvert contenant $kl$. Il existe donc un réel $a>0$ tel que $]kl-a;kl+a[$ est inclus dans $A$. Comme $(u_n)$ est convergente vers $l$, il existe un rang $N$ tel que pour tout rang $n\geq N$, $l-\frac{a}{k} < u_n < l+\frac{a}{k}$ qui est un intervalle ouvert contenant $kl$. D'où pour tout $n\geq N$, $kl-a < ku_n < kl+a$. D'où $u_n\in]kl-a;kl+a[$ ce qui assure que la suite converge vers $kl$.
Soit $a>0$ un réel. Alors, puisque $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, il existe un rang $N$ tel que pour tous les rangs $n\geq N$, $u_n>\frac{a}{k}$. D'où pour tout $n\geq N$, $ku_n>a$.

Propriété :

$\lim u_n$	$l$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$l$	$l$
$\lim v_n$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim u_n+v_n$	____ $l+l'$	____ $+\infty$	____ indéterminée	____ $-\infty$	____ $+\infty$	____ $-\infty$
$\lim u_n\times v_n$	____ $ll'$	____ $+\infty$	____ $-\infty$	____ $+\infty$	____ signe($l$)$\infty$, $l\neq 0$	____ -signe($l$)$\infty$, $l\neq 0$
$\lim \frac{u_n}{v_n}$	____ si $l'\neq0$, $\frac{l}{l'}$	____ indéterminée	____ indéterminée	____ indéterminée	____ 0	____ 0

Preuves :

Admises

Exemples :

Soit $u_n$ définie par $u_n=\frac{3n^4+n}{n^3}$ pour tout $n\geq 1$. On a alors $u_n=3n+\frac{1}{n}$.
____ Comme $\lim_{n\rightarrow+\infty}=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$, la suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$.
Soit $v_n$ définie par $v_n=5n^2-6n$ pour tout $n\geq 0$.
____ On a alors $v_n=n(5n-6)$. Or $\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}5n-6=+\infty$ donc $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

Propriétés :

Soit $p$ un entier naturel. Soient $a_0$, $a_1$, $a_2$,..., $a_p$ des réels avec $a_p\neq 0$.

Alors : ____ $$\lim_{n\rightarrow +/-\infty} a_p n^p+a_{p-1} n^{p-1}+...+a_1 n+a_0=\lim_{n\rightarrow +/-\infty} a_p n^p$$
Soit $q$ un entier naturel. Soient $b_0$, $b_1$, ... $b_q$ des réels avec $b_q\neq 0$. Alors : ____ $$\lim_{n\rightarrow +/-\infty} \frac{a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_1n+a_0}{b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+...+b_1n+b_0} = \lim_{n\rightarrow +/-\infty} \frac{a_p n^p}{b_q n^q}$$

Preuve :

____

On écrit que : $a_p n^p+a_{p-1} n^{p-1}+...+a_1 n+a_0=a_pn^p(1+\frac{a_{p-1}n^{p-1}}{a_pn^p}+...+\frac{a_1n}{a_pn^p}+\frac{a_0}{a_pn^p})=a_pn^p(1+\frac{a_{p-1}}{a_pn}+...+\frac{a_0}{a_pn^p})$.
Comme $\lim_{n\rightarrow \pm\infty} (1+\frac{a_{p-1}}{a_pn}+...+\frac{a_0}{a_pn^p})=1$, on obtient le résultat.
On écrit que $\frac{a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_1n+a_0}{b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+...+b_1n+b_0}=\frac{a_pn^p(1+\frac{a_{p-1}}{a_pn}+...+\frac{a_0}{a_pn^p})}{b_qn^q(1+\frac{b_{q-1}}{b_qn}+...+\frac{b_1}{b_qn^{q-1}}+\frac{b_0}{b_qn^q})}$
L'étude de la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ avec cette écriture donne le résultat.

V - Inégalités et limites de suites

Propriété : théorèmes de comparaison

Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $+\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\geq u_n$. Alors ____ $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.
Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $-\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\leq u_n$. Alors ____ $(v_n)$ diverge vers $-\infty$.

Preuve :

____ On considère un intervalle de la forme $]a;+\infty[$ où $a$ est un réel. $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ donc à partir d'un certain rang $N$ les termes de la suite $(u_n)$ sont dans l'intervalle $]a;+\infty[$. A partir d'un certain rang $N'$, $v_n\geq u_n$ donc à partir du plus grand des rang $N$ et $N'$, les termes de la suite $(v_n)$ sont dans $]a;+\infty[$ ce qui démontre que la suite $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.

Théorème dit "des gendarmes" :

Soient $u$, $v$ et $w$ des suites avec $v$ et $w$ convergentes vers une même limite $l$. Si, à partir d'un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$, alors ____ la suite $u$ est convergente vers $l$.

Preuve :

On considère un intervalle ouvert contenant $l$. Il existe donc un nombre réel $e$ strictement positif tel que $]l-e;l+e[$ est inclus dans cet intervalle. La suite $(v_n)$ converge vers $l$ donc à partir d'un certain rang $N$, $v_n$ est supérieur à $l-e$. La suite $(w_n)$ est convergente donc à partir à partir d'un certain rang $N'$, $w_n < l+e$. En outre, à partir d'un certain rang $N''$, on a $ v_n\leq u_n\leq w_n$, donc à partir du plus grand des trois rangs $N$, $N'$ et $N''$, on a $u_n\geq v_n> l-e$ et $u_n\leq w_n < l+e$ donc $w_n$ est dans l'intervalle considéré. Ceci montre que la suite converge vers $l$.

Théorème :

Soit $(u_n)$ une suite croissante et convergente vers un réel $l$. Alors tous les termes de la suite $(u_n)$ sont ____ inférieurs ou égaux à $l$.

Preuve :

Démontrons ce résultat par l'absurde. Pour cela, on suppose qu'il existe un terme de la suite, appelons le $(u_N)$, qui est supérieur strictement à $l$. Soit $d=u_N-l$. On a donc $d>0$.
On considère l'intervalle $]l-d;l+d[$. $u_N$ n'appartient donc pas à cet intervalle. $(u_n)$ étant une suite croissante, pour tout entier naturel $n\geq N$, $u_n>u_N>l+d$ et donc $u_n\notin ]l-d;l+d[$.
On vient donc de trouver un intervalle pour lequel quelque soit le rang $p$ choisi, il existe des termes de la suite plus grand que $p$ (les termes de rang $n$ supérieur au maximum de $p$ et $N$) qui n'appartiennent pas à cet intervalle : cela contredit la définition de la convergence de la suite vers $l$.
Cette contradiction montre que la supposition faite au départ est absurde, on ne peut donc pas trouver de terme de la suite qui soit supérieur strictement à $l$. D'où le résultat.

VI - Convergence des suites monotones

Théorème de la limite monotone :

Toute suite monotone et bornée est ____ convergente.

Preuve :

Admise

Conséquence :

Soit $(u_n)$ une suite croissante.

Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors elle est ____ divergente vers $+\infty$.
Si $(u_n)$ est majorée, alors elle est ____ convergente.

Preuve :

____

Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Soit $a$ un réel. Il s'agit de montrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]a:+\infty[$.
La suite n'est pas majorée par $a$ donc il existe un rang $N$ tel que $u_N$ soit supérieure strictement à $a$, c'est à dire $u_N\in]a;+\infty[$. Puisque la suite est croissante, pour tout $n\geq N$, $u_n\geq u_N> a$ donc $u_n\in]a;+\infty[$.
Cela signifie que la suite admet pour limite $+\infty$.
Comme $(u_n)$ est croissante, elle est minorée par son premier terme. Comme elle est aussi majorée, elle est donc bornée. D'où par le théorème de la limite monotone, elle converge.

VII - Limite de suites géométriques

Propriété : limite de suites géométriques

Soit $q$ un réel. Alors :

Si ____ $q\succ 1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite ____ $+\infty$ ;
si ____ $-1\prec q\prec 1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite ____ $0$ ;
si ____ $q\leq -1$, alors la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.

Preuve :

____

Si $q\succ 1$ alors $q=1+x$ avec $x\succ 0$. Considérons la fonction $h$ définie par $h(x)=(1+x)^n-(1+nx)$.
La fonction $h$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $h'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=n((1+x)^n-1$.
Pour tout $x\geq 0$, on a $h'(x)\geq 0$ donc $h$ est croissante et de $h(0)=0$ on déduit $(1+x)^n-(1+nx)\geq 0$ donc $(1+x)^n\geq 1+nx$.
Puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+nx)=+\infty$, on a donc $q^n=(1+x)^n$ qui tend vers $+\infty$.
Si $-1\prec q\prec 1$, alors $|q|\prec 1$ donc $\frac{1}{|q|}\succ 1$ et d'après le cas précédent $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{|q|^n}=+\infty$ d'où $(|q|^n)$ tend vers 0.
Si $q=-1$, la suite des termes impaires est dans $]-\infty;-1[$ et la suite des termes paires est dans $[1+\infty[$ donc la suite $(q^n)$ ne peut pas converger.