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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\begin{document}

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\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Intégration, cours, terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Intégration, cours, terminale S}}
\end{center}


\section{Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. ortogonal.
On appelle \emphref{intégrale} de $a$ à $b$ de la fonction $f$ la mesure de l'aire ............. .......... ............. .............. ............... ............... ................ ................ ................. ................. .................. .................\\
On note ....................... cette aire.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{integrationairesouscourbeimg.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Remarques}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Pour toute fonction continue et positive sur $[a;b]$, on a $\int_{a}^{b}f(t)dt\geq ....$ ;
  \nouvitem Si $b=a$, on a $\int_{a}^{a}f(t)dt=....$ ;
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Relation de Chasles}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I=[a;c]$ et $b$ un réel de $I$. Alors :
$$...........................$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété de conservation de l'ordre}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a;b]$ telles que pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$.\\
Alors ................... ................ .
\end{encadrer}

\newpage


\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{valeur moyenne} de $f$ sur $[a;b]$, le réel $$\mu=...........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $f$ est positive sur $[a;b]$, la valeur moyenne s'interprète géométriquement comme la hauteur du rectangle de côté $b-a$ et de même aire que l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe de la fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{integrationVMoy.png}
\end{center}



\section{Lien entre intégrale et primitives}

\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. La fonction $G$ définie sur $[a;b]$ par $G(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée ......... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ est continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ alors
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=......................$$
où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a;b]$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $F$ une primitive de $f$.\\ D'après la propriété précédente, $G$ définie par $G(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est une primitive de $f$ et $G(a)=0$.\\
Donc, il existe une constante réelle $c$ telle que pour tout $x$ de $[a;b]$ $F(x)=G(x)+c$.\\
On a alors $F(b)-F(a)=...$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\int_{1}^{2}5x^2dx=...$
\end{sanscadre}

\section{Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$, on définit l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ par 
 $$..............$$
 où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Il faut démontrer que la définition est indépendante de la primitive $F$ de $f$ utilisée.\\
Soient donc $F$ et $G$ deux primitives de $f$. Il existe donc un réel $c$ tel que $G=F+c$.\\
D'où $G(b)-G(a)=$....\\
Le nombre obtenu ne dépend donc pas de la primitive de $f$ utilisée.
\end{sanscadre} 

\begin{encadrer}{Notation}
On note aussi $\int_{a}^{b}f(x)dx=....$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\int_{0}^{1}\frac{-5x}{x^2+3}dx=...$
\end{sanscadre}
\vspace{1cm}


\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée ......... .
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété, relation de Chasles}
 Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $a$, $b$ et $c$ trois réels de $I$. Alors :
$$..............................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soit $F$ une primitive de $f$. On a
\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx&=...............\\
 &=.............\\
 &=\int_{a}^{c}f(x)\,dx
\end{align*}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Conséquences}
Avec les mêmes hypothèses que précédemment, 
\begin{itemize}
\nouvitem $\int_{a}^{a}f(x)\,dx=......$
 \nouvitem $\int_{b}^{a}f(x)\,dx=.........$

 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
D'une part, $\int_{a}^{a}f(x)\,dx=.........$ et d'autre part, 
$\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{a}f(x)\,dx=\int_{a}^{a}f(x)\,dx$ d'où les deux résultats.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété de linéarité de l'intégrale}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$ et $k$ un réel. Alors
$$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=.................$$
et
$$\int_{a}^{b}kf(x)\, dx=.......................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soient $F$ et $G$ des primitives de $f$ et $g$ respectivement. Alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ car $(F+G)'=F'+G'=.......$\\
et on a $\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=$.............. ................ ...................... ................ ................. .

\noindent De même, $kF$ est une primitive de $kf$ et $\int_{a}^{b}kf(x)\,dx=$............ ................... ................ ................. .
\end{sanscadre}




\begin{encadrer}{Propriété de positivité de l'intégrale}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
\begin{itemize}
 \nouvitem Si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$, alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq ....$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$, alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx .... \int_{a}^{b}g(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est positive, alors, $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ est l'aire de la partie de plan comprise entre les droites d'équation $x=a$, $x=b$, $y=0$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ donc est positive.
\nouvitem Si pour tout $x$ réel de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$ implique $g(x)-f(x).....0$ c'est à dire que $g-f$ est ........... D'où $\int_{a}^{b}(g(x)-f(x))\,dx..... 0$ d'après le point précédent ce qui s'écrit encore $\int_{a}^{b}g(x)\,dx.......\int_{a}^{b}f(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, l'aire exprimée en unités d'aire de la surface plane délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $-\int_{a}^{b}f(x)dx$.
\nouvitem Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a;b]$ telles que $f\leq g$, alors l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface comprise entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $\int_{a}^{b}g(x)-f(x)dx$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{integrationCoursFigAireTS.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{valeur moyenne} d'une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$, le réel $$\mu=...........$$
\end{encadrer}

\end{document}

