Positions relatives et orthogonalité dans l'espace, cours, terminale S

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I - Rappels sur les positions relatives d'objets de l'espace

1 - Droites de l'espace

Définition :

Deux droites de l'espace sont dites :

coplanaires si ____ elles sont contenues dans le même plan.
parallèles si elles sont ____ contenues dans le même plan et si elles sont ____ parallèles dans ce plan.

Synthèse :

Soient $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$ deux droites distinctes. Les configurations suivantes sont les seules possibles :

Remarque :

Deux droites ____ non coplanaires n'ont donc aucun point commun et ne sont pourtant pas non plus parallèles.

2 - Plans de l'espace

Définition :

Deux plans sont parallèles si ____ ils n'ont aucun point commun.

Propriété :

Deux plans sécants se coupent ____ selon une droite.

Synthèse :

Soient $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ deux plans distincts. Les configurations suivantes sont les seules possibles :

3 - Droites et plans dans l'espace

Définition :

Une droite est parallèle à un plan si ____ elle n'a aucun point commun avec ce plan.

Propriété :

Une droite $(\mathcal{D})$ de l'espace est parallèle à un plan si et seulement si le plan contient ____ une droite qui lui est parallèle.

Synthèse :


$(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{D})=$____ $\{D\}$	$(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{D})=$ ____ $\emptyset$	$(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{D})=$____$(\mathcal{D})$

Propriété :

Deux plans sont parallèles si l'un contient deux droites ____ sécantes parallèles à l'autre.

II - Parallélisme

Théorème "du toit" :

Si deux plans sécants $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P}')$ contiennent deux droites parallèles $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$, alors ____ leur intersection $\Delta$ est parallèle aux droites $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$.

Propriété :

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et ____ les droites d'intersection sont parallèles.

Exemples :

Recherche de l'intersection de $(ABI)$ et $(DCI)$ :
____ $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
$(AB)$ est incluse dans $(ABI)$.
$(DC)$ est incluse dans $(DCI)$.
D'où $(ABI)$ et $(DCI)$ sont sécantes selon la droite parallèle passant par $I$ d'après le théorème du toit.
Recherche de l'intersection de $(ABJ)$ et $(DCG)$ :
____ $(ABF)$ est parallèle à $(DCG)$.
$(ABJ)$ coupe $(ABF)$ selon la droite $(AB)$.
Donc $(ABJ)$ coupe $(DCF)$ selon la droite parallèle à $(AB)$ passant par $J$.

III - Orthogonalité

Définition :

Deux droites sont orthogonales si ____ les droites parallèles à ces droites passant par un même point sont deux droites perpendiculaires.

Remarque :

Deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires.

Définition :

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle ____ est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Propriété :

Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est ____ orthogonale à toutes les droites de ce plan.