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\title{Compléments sur la dérivation et continuité, cours, terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Compléments sur la dérivation et continuité, cours, classe de terminale S}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Fonction dérivée, tangente}
\pdfrowcolors{}

\begin{encadrer}{Définitions}
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$. 
 Dire que $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, signifie que le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
Lorsque $f$ est dérivable en tout réel $a$ de $I$, $f$ est dite dérivable sur $I$ et $f':x\mapsto f'(x)$ pour tout $x\in I$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On définit de même la dérivée seconde $f''$ comme dérivée de $f'$, puis la dérivée troisième $f^{(3)}$ et ainsi de suite.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Dire que $f$ est dérivable en $a$, signifie que la courbe représentative de $f$ dans un repère admet au point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ une tangente $\mathcal{T}$ de coefficient directeur $f'(a)$.\\
L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ est alors $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$.
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=12cm]{nombrederivecoursimg1.png}
\end{center}

\section{Dérivation de fonctions}

\subsection{Fonctions dérivées usuelles (rappel)}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$f(x)$ & $f'(x)$ & $\mathcal{D}_{f'}$\\
\hline
$k$ & 0 & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & 1 & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$mx+p$ & $m$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & $2x$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$ & $nx^{n-1}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ & $-\frac{1}{x^2}$ & $\mathbb{R}^{*}$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0;+\infty [$\\
\hline
$\frac{1}{x^n}$ & $-n\frac{1}{x^{n+1}}$ & $\mathbb{R}^{*}$ \\
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Opérations sur la dérivation}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.
Alors $u+v$, $ku$, $uv$ sont dérivables sur $I$, $\frac{u}{v}$ est dérivable pour tout $a\in I$ tel que $v(a)\neq 0$ et :
$$(u+v)'=u'+v'$$
$$(k\, u)'=k\, u'$$
$$ (uv)'=u'v+v'u$$
$$ (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$$
$$(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$$
 \end{encadrer}



\newpage


\section{Notion intuitive de continuité}

\begin{encadrer}{Définition intuitive}
Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ si sa courbe représentative ne présente aucune rupture.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Ci-dessous la fonction $f$, définie par $f(x)=(x+2)(x-1)(x+3)$ sur $\mathbb{R}$, est continue sur $]-\infty;+\infty[$ alors que la fonction $g$ définie sur $]-\infty;-1]$ par $g(x)=f(x)$ et sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-1$ n'est pas continue en $-1$.
\begin{center}
 \begin{tabular}{cc}
  \includegraphics[width=6cm]{continuitecoursTSimgfonctioncontinue.png} & \includegraphics[width=6cm]{continuitecoursTSimgfonctionnoncontinue.png} \\
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriétés (admises)}
\begin{itemize}
\nouvitem Les fonctions affines, carrées, inverse, racine carrée, valeur absolue sont continues sur leur ensemble de définition.
\nouvitem Si une fonction est dérivable sur un intervalle $I$, alors elle est continue sur cet intervalle.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Remarque}
La réciproque n'est pas vraie : la fonction valeur absolue est continue sur $]-\infty;+\infty[$ mais n'est pas dérivable en 0.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Convention}
Une flèche dans le tableau de variations d'une fonction $f$ indique :
\begin{itemize}
\nouvitem la stricte croissance ou stricte décroissance de $f$ sur l'intervalle correspondant ;
\nouvitem la continuité de la fonction $f$ sur cet intervalle.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Théorème des valeurs intermédiaires (admis)}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe \emph{au moins} un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si de plus $f$ est \emph{strictement monotone} sur $I$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un \emph{unique} réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
\end{encadrer}


\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ & $a$ & & $c$ & & $b$ \\
   \hline
   &  & &  & & $f(b)$ \\

  & & & & $\nearrow$ &  \\

  $f$ & & & $k$ &  & \\

  & & $\nearrow$ & & & \\

  & $f(a)$ & & & & \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
&
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ & $a$ & & $c$ & & $b$ \\
   \hline
   & $f(a)$ & &  & & \\

  & & $\searrow$ & & &  \\

  $f$ & & & $k$ &  & \\

  & & & & $\searrow$ & \\

  & & & & & $f(b)$ \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}

\section{Dérivation de fonctions composées}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels et $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $ax+b\in I$. Alors la fonction $g:x\longmapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x$ réel de $J$,
$$g'(x)=af'(ax+b)$$
En particulier,
$$((ax+b)^n)'=a\times n (ax+b)^{n-1}$$
$$(\sqrt{ax+b})'=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
admise
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{itemize}
 \nouvitem Soit $g$ la fonction définie sur $\mathcal{R}$ par $g(x)=(4x-5)^2$. $g$ est dérivable sur $\mathcal{R}$ et : \\
$g'(x)=2\times 4\times (4x-5)=8(4x-5)=3x-40$.
\nouvitem Soit $h$ la fonction définie sur $I=]\frac{-1}{3};+\infty[$ par $h(x)=5\sqrt{3x+1}$. $h$ est dérivable sur $I$ et :\\
$h'(x)=5\times\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{15}{2\sqrt{3x+1}}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage 

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et ne s'annulant pas sur $I$ dans le cas $n<0$. Alors $u^n$ est dérivable sur $I$ et :
$$(u^n)'=nu'u^{n-1}$$
\nouvitem  On considère une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $g:x\mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize} 
\nouvitem Preuve dans le cas $n\geq 1$ :\\
Pour $n=1$, $(u^1)'=u'$ et $nu'u^{n-1}=u'$ donc la propriété est vraie au rang 1.\\
Supposons la propriété vraie pour un rang $n\geq 1$, c'est  à dire que pour un rang $n$, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$. Alors $u^{n+1}=u\times u^n$ donc en utilisant la dérivation de produits $(u^{n+1})'=(u^n)'u+u'u^n$ . En outre, par hypothèse de récurrence, on a $(u^n)=nu'u^{n-1}$. D'où $(u^{n+1})'=nu'u^{n-1}u+u'u^n=nu'u^n+u'u^n=(n+1)u'u^n$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.\\
Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n\geq 1$.
\nouvitem Admise.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit g la fonction définie sur $\mathcal{R}$ par $g(x)=(5x^4+7)^3$. $g$ est dérivable sur $\mathcal{R}$ et :\\
$g'(x)=3\times (5\times 4x^3+0)(5x^4+7)^2=60x^3(5x^4+7)^2$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Si $u$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $x\in I$ et si $v$ est une fonction dérivable en $u(x)$, alors la fonction $g$ définie par $g(x)=v(u(x))$ est dérivable en $x$ et : 
$$g'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$$
\end{sanscadre}
\end{document}
