<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{15cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{minipage}{15cm}\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}\end{minipage}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres complexes, cours, classe de terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Nombres complexes, cours, terminale S}}
\end{center}

\section{Notion de nombre complexe}



\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$ et appelé \emphref{ensemble des nombres complexes} tel que :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\mathbb{C}$ contient l'ensemble des ............... ..............;
 \nouvitem l'addition et la multiplication des nombres complexes \og{} prolongent \fg{} l'addition et la multiplication des nombres réels. (c'est à  dire que l'addition ou la multiplication de deux nombres réels considérés comme nombres complexes est l'addition ou la multiplication usuelle sur les nombres réels) ;
  \nouvitem Il existe un unique nombre complexe noté $i$ tel que ................. .
\nouvitem Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique $z=.............$ où .......... ........... ........... ............ ............... .............. .
\end{itemize}
L'écriture $z=a+ib$ est appelée .............. ............... du nombre complexe $z$.\\
Le nombre réel $a$ est appelé ............... ............... du nombre complexe $z$ et noté ................ .\\
Le nombre réel $b$ est appelé ................. ................ du nombre complexe $z$ et noté ............... .\\
Si $a=0$, le nombre $z$ s'écrit $z=...........$ avec .............. . On dit alors que $z$ est un ............. ..............
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
Le réel 3 est aussi un nombre complexe, il s'écrit $3=3+0\times i$. Le nombre $3+2i$ est un nombre complexe non réel. Sa ............ ............... est 2 et sa .............. ................. est 3..
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même .......... ............ et la même .......... ................ .
\end{sanscadre}


\section{Opérations sur les nombres complexes}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $z=a+ib$ et $z'=a'i+b'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ réels. 
\begin{itemize}
 \nouvitem On définit l'opposé de $z$ et on note $-z$ le nombre $-z=-a-ib$.
 \nouvitem On définit l'addition des nombres complexes $z$ et $z'$ et on note $z+z'$ le nombre :
$$z+z'=$$...................
\nouvitem On définit la multiplication des nombres complexes $z$ et $z'$ et on note $zz'$ le nombre :
$$zz'=(a+ib)(a'+ib')=$$......................
\nouvitem Tout nombre complexe non nul $z$ admet un inverse, c'est à dire un nombre $z'$ tel que ............... , noté $z'=\frac{1}{z}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Remarque}
L'addition et la multiplication dans les complexes prolongent l'addition et la multiplication dans les réels car, si $z$ et $z'$ sont réels, c'est $z=a$ et $z'=a'$ avec $a$ et $a'$ réels, alors $z+z'=a+a'$ et $zz'=aa'$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $(3+2i)+(5-4i)=$............\\
\nouvitem $(3+2i)(5-4i)=$.........................\\
\nouvitem  $\frac{3+21}{5-4i}=$.....................\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$,
 \begin{itemize}
  \nouvitem $(z+z')^2=$..................
  \nouvitem $(z-z')^2=$..................
 \nouvitem $(z-z')(z+z')=$................
 \nouvitem $zz'=0$ si et seulement si $........$ ou $..........$.
 \end{itemize}
\end{encadrer}
}

\section{Représentation géométrique des nombres complexes}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;\vec{u};\vec{v})$ un repère orthonormé du plan.
\begin{itemize}
 \nouvitem \`A tout nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(a;b)$. On dit que $M$ est ........... ............ de  $z$  et que  $\vec{OM}$ est ............ ............. de $z$.
\nouvitem Tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ est le .......... ............ d'un unique complexe $z=x+iy$. On dit que $z$ est ................... du point M et du vecteur $\vec{OM}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{nombrescomplexesrepresentationgraphiqueimg.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarques}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Les nombres réels sont les .................. des points de l'axe des ...................... qui est pour cette raison aussi appelé axe ............ .
\nouvitem Les nombres imaginaires purs sont les ................. des points de l'axe des .................. qui est pour cette raison aussi appelé axe ............. .............
 \end{itemize}
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
On considère deux points $A$ et $B$ du plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, alors 
\begin{itemize}
 \nouvitem le vecteur $\vec{AB}$ a pour affixe ............... .
\nouvitem L'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $z_I=$................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $A$ et $B$ ont pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans $(O;\vec{u};\vec{v})$ et par ailleurs, $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$.
Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées ............................. dans le repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ et donc pour affixe ....................................... dans ce repère. \\
Or $z_B-z_A=$.....

\nouvitem On sait que $x_I=$............... et $y_I=$........................ \\
Or $\frac{z_A+z_B}{2}$=....
 \end{itemize}

\end{sanscadre}

\section{Conjugué d'un nombre complexe}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Pour tout nombre complexe $z$  de forme algébrique $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels, on appelle \emphref{conjugué de $z$} le nombre noté $\bar{z}$ et défini par $\bar{z}=$........... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O ; \vec{u};\vec{v})$, si $M$ est le point d'affixe $z$, le point $M'$ d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisse.
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{nombrescomplexesrepresentationconjugueimg.png}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
\begin{itemize}
 \nouvitem $z$ est réel si et seulement $\bar{z}=$...... ;
\nouvitem $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z}=$........ ;
\nouvitem $\overline{z+z'}=$................ ;
\nouvitem $\overline{zz'}=$................. ;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n}=$........... ;
\nouvitem si $z\neq 0$, $\overline{\frac{1}{z}}=$........... ;
\nouvitem si $z\neq 0$, $\overline{\frac{z'}{z}}=$................ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Soit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. $z=$....... s'écrit $a+ib=$....... c'est à $ib=$..... ou encore $2ib=$...... ce qui équivaut à $b=0$ c'est à dire $z=a$ réel.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ avec  $a$ et $b$ réels. $\bar{z}=$....... équivaut à $a-ib=$....... c'est à dire $a-ib=$....... ce qui équivaut à $2a=$..... donc à $a=0$.
\nouvitem Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. $\bar{z}+\bar{z'}=$.............. ..................... ............
\nouvitem Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. D'une part, $\overline{zz'}=$............... ............... ................... ................... et d'autre part, $\bar{z}\bar{z'}=$................ .................... .................... d'où l'égalité.
\nouvitem Initialisation : l'égalité est de manière évidente vraie pour $n=0$ car $z^0=1$ donne $\overline{z^0}=\bar{z}^0=1$.\\
Hérédité : Si l'égalité $\overline{z^n}=$............. est vraie pour un rang $n\in\mathbb{N}$, alors pour $n+1$, on a $\overline{z^{n+1}}=$.................. D'après la propriété précédente (qui n'est autre que le cas $n=2$...), on peut écrire que $\overline{z^{n+1}}=$................. . Or, par hypothèse de récurrence, on a $\overline{z^{n}}=$........... donc $\overline{z^{n+1}}=$......................... . La propriété est donc vraie au rang $n+1$.\\
Conclusion : Par récurrence, on en déduit qu'elle est vraie pour tout rang $n\in\mathbb{N}^{*}$
\nouvitem Soit $z=a+ib$, alors $\overline{\frac{1}{z}}=$............. .............. . en multipliant par $.............$ le dénominateur et le numérateur. Ceci est encore égal à $\frac{a+ib}{a^2+b^2}$.\\
Par ailleurs, $\frac{1}{\bar{z}}=$.................. ............... en multipliant numérateur et dénominateur par $.............$. D'où l'égalité.
\nouvitem $\overline{\frac{z'}{z}}=$..................... ................ ................ ................... .
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{\'Equations du second degré à coefficients réels}

\cadre{
\begin{encadrer}{Théorème}
On considère l'équation $az^2+bz+c=0$ avec $a$, $b$, $c$ réels et $a\neq 0$ de discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta$......., alors l'équation admet deux solutions réelles $x_1=$............... et $x_2=$.................. ;
\nouvitem Si $\Delta$......... alors l'équation admet une unique solution réelle .................... ;
\nouvitem Si $\Delta$........, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées $z_1=$.................... et $z_2=$..................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve (troisième cas)}
Dans tous les cas, $az^2+bz+c=a(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a})=a((z-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a((z-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$ est l'écriture canonique de $az^2+bz+c$.\\
L'équation s'écrit donc $(z-(-\frac{b}{2a}))^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\Delta}{4a^2}$.\\
Si $\Delta&lt;0$ alors $-\Delta&gt;0$ donc $\sqrt{-\Delta}$ existe et $(i\sqrt{-\Delta})^2=-(-\Delta)=\Delta$ donc $i\sqrt{-\Delta}$ a pour carré $\Delta$.\\
Par conséquent, $z-(-\frac{b}{2a})=\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ou $z-(-\frac{b}{2a})=-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ donc $z=\frac{-b+i\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $z=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{sanscadre}

\section{Module d'un nombre complexe}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $z=ai+b$ avec $a$ et $b$ réels un nombre complexe. On appelle \emphref{module de $z$} le nombre noté $|z|$ défini par $|z|=$............... .
Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, si $M$ est l'image de $z$, alors $|z|=$......... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $x$ est un nombre réel, alors le module de $x$ et la valeur absolue de $x$ sont égaux, d'où l'utilisation de la même notation.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $z=-3+\sqrt{3}i$ alors $|z|=$................... ................... ............... .
\end{sanscadre}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $|-z|=........$ et $|\bar{z}|=........$ ;
\nouvitem  $|zz'|=$...........;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$ non nul, $|z^n|=$............  ;
\nouvitem $|\frac{z}{z'}|=$............... ;
\end{itemize}
\end{encadrer}
}



\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem \'Evident.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ des réels. \\
D'une part, on a $zz'=$.............................. donc $|zz'|^2=$...................... .................... d'où $|zz'|^2=a^2a'^2-2aa'bb'+b^2b'^2+a'^2b^2+2aa'bb'+a^2b'^2
=a^2a'^2+b^2b'^2+a^2b'^2+a'^2b^2$.\\
D'autre part, on a $|z|^2=$.................. et $|z'|^2=$................... donc $(|z||z'|)^2=(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)=aa'^2+a^2b'^2+a'^2b^2+a^2b'^2$.\\
D'où l'égalité $|zz'|^2=(|z||z'|)^2$ et l'égalité voulue.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^{*}}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, .......... .............. donc la propriété est vraie pour $n=1$.
Hérédité : si pour un rang $n\in\mathbb{N}^*,$............... ......., alors $|z^{n+1}|=$......................... d'après la propriété précédente. Puisque par hypothèse de récurrence, $|z^n|=...........$, alors $|z^{n+1}|=$............................ C'est la propriété au rang $n+1$
Conclusion : Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraie, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $|z^n|=|z|^n$.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ des réels. \\
D'une part $\frac{z}{z'}=\frac{a+ib}{a'+ib'}=\frac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'+ib')}=\frac{aa'+bb'+i(ba'-ab')}{a'^2+b'^2}$ d'où $|\frac{z}{z'}|^2=(\frac{aa'+bb'}{a'^2+b'^2})^2+(\frac{ba'-ab'}{a'^2+b'^2})^2=\frac{a^2a'^2+b^2b'^2+b^2a'^2+a^2b'^2}{(a'^2+b'^2)^2}=\frac{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}{(a'^2+b'^2)^2}=\frac{a^2+b^2}{a'^2+b'^2}$.\\
D'autre part, $(\frac{|z|}{|z'|})2=\frac{(a^2+b^2)}{(a'^2+b'^2)}$.\\
D'où l'égalité.
\nouvitem $z\bar{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, soient $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $AB=$................ ;
\nouvitem L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels $|z-z_A|=|z-z_B|$ est ..................... ........................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $M$ tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$. $M$ a pour affixe $z_B-z_A$ et $OM=|z|=$.......................
\nouvitem $|z-z_A|=|z-z_B|$ se traduit géométriquement par .................. c'est à dire que $M$ appartient à ................. .................. ..................
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\end{document}
</pre></body></html>