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\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés



\title{Nombres complexes, cours, Terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres complexes, cours, classe de terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Notion de nombre complexe}



On sait depuis les babyloniens résoudre les équations dites du second degré (c'est à  dire de la forme $ax^2+bx+c=0$). Cependant, on est resté longtemps sans méthode générale de résolution des équations du troisième degré. Ce n'est qu'au XVI\up{e} siècle qu'un mathématicien italien Tartaglia découvrit une méthode générale de résolution de ces équations. Il eut pour cela recourt à l'utilisation de ce qui fut qualifié à  l'époque d'artifice : une racine carrée de -1, 
c'est à  dire un nombre $x$ imaginaire tel que $\sqrt{x}=-1$. 
Ce n'est que par la suite que ce nombre acquèrera sont statut de nombre, sera renommé $i$ et donnera naissance aux nombres complexes qui seront étudiés en tant que nombres et permettront le développement de pans entiers des Mathématiques.

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$ et appelé \emphref{ensemble des nombres complexes} tel que :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\mathbb{C}$ contient l'ensemble des nombres réels ;
 \nouvitem l'addition et la multiplication des nombres complexes \og{} prolongent \fg{} l'addition et la multiplication des nombres réels. (c'est à  dire que l'addition ou la multiplication de deux nombres réels considérés comme nombres complexes est l'addition ou la multiplication usuelle sur les nombres réels) ;
  \nouvitem Il existe un unique nombre complexe noté $i$ tel que $i^2=-1$.
\nouvitem Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
\end{itemize}
L'écriture $z=a+ib$ est appelée \emphref{forme algébrique} du nombre complexe $z$.\\
Le nombre réel $a$ est appelé \emphref{partie réelle} du nombre complexe $z$ et noté $\mathcal{R}e(z)$.\\
Le nombre réel $b$ est appelé \emphref{partie imaginaire} du nombre complexe $z$ et noté $\mathcal{I}m(z)$.\\
Si $a=0$, le nombre $z$ s'écrit $z=ib$ avec $b\in\mathbb{R}$. On dit alors que $z$ est un imaginaire pur.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
Le réel 3 est aussi un nombre complexe, il s'écrit $3=3+0\times i$. Le nombre $3+2i$ est un nombre complexe non réel. Sa partie imaginaire est 2 et sa partie réelle est 3..
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
\end{sanscadre}


\section{Opérations sur les nombres complexes}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $z=a+ib$ et $z'=a'i+b'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ réels. 
\begin{itemize}
 \nouvitem On définit l'opposé de $z$ et on note $-z$ le nombre $-z=-a-ib$.
 \nouvitem On définit l'addition des nombres complexes $z$ et $z'$ et on note $z+z'$ le nombre :
$$z+z'=a+a'+i(b+b')$$
\nouvitem On définit la multiplication des nombres complexes $z$ et $z'$ et on note $zz'$ le nombre :
$$zz'=(a+ib)(a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b)$$
\nouvitem Tout nombre complexe non nul $z$ admet un inverse, c'est à dire un nombre $z'$ tel que $zz'=1$, noté $z'=\frac{1}{z}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Remarque}
L'addition et la multiplication dans les complexes prolongent l'addition et la multiplication dans les réels car, si $z$ et $z'$ sont réels, c'est $z=a$ et $z'=a'$ avec $a$ et $a'$ réels, alors $z+z'=a+a'$ et $zz'=aa'$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem  $(3+2i)+(5-4i)=8-2i$\\
\nouvitem $(3+2i)(5-4i)=3\times 5+(2i)(-4i)+5\times 2i-3\times 4i=15+8+10i-12i=23-2i$
 \nouvitem  $\frac{3+2i}{5-4i}=\frac{(3+2i)(5+4i)}{(5-4i)(5+4i)}=\frac{15+10i+12i-8}{5^2-20i+20i+16}=\frac{7+22i}{41}$ (on a multiplié par $5+4i$ appelé \emphref{conjugué }  de $5-4i$ pour obtenir un dénominateur réel et donc la forme algébrique du quotient).
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$,
 \begin{itemize}
  \nouvitem $(z+z')^2=z^2+2zz'+z'^2$
  \nouvitem $(z-z')^2=z^2-2zz'+z'^2$
 \nouvitem $(z-z')(z+z')=z^2-z'^2$
 \nouvitem $zz'=0$ si et seulement si $z=0$ ou $z'=0$.
 \end{itemize}
\end{encadrer}
}

\section{Représentation géométrique des nombres complexes}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;\vec{u};\vec{v})$ un repère orthonormé du plan.
\begin{itemize}
 \nouvitem \'A tout nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(a;b)$. On dit que $M$ est \emphref{le point image de  $z$}  et que  $\vec{OM}$ est \emphref{le vecteur image de $z$}.
\nouvitem Tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ est le point image d'un unique complexe $z=x+iy$. On dit que $z$ est l'affixe du point M et du vecteur $\vec{OM}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{nombrescomplexesrepresentationgraphiqueimg.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarques}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des abscisses qui est pour cette raison aussi appelé \emphref{axe réel}.
\nouvitem Les nombres imaginaires purs sont les affixes des points de l'axe des ordonnées qui est pour cette raison aussi appelé \emphref{axe imaginaire pur}.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
On considère deux points $A$ et $B$ du plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, alors 
\begin{itemize}
 \nouvitem le vecteur $\vec{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.
\nouvitem L'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $A$ et $B$ ont pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans $(O;\vec{u};\vec{v})$ et par ailleurs, $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$.
Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A)$ dans le repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ et donc pour affixe $(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$ dans ce repère.\\
Or $z_B-z_A=x_B+iy_B-(x_A+iy_A)=x_B-x_A+i(y_B-y_A)$.
\nouvitem On sait que $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$ et $z_I=x_I+iy_I$.\\
Or $\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{x_A+iy_A+x_B+iy_B}{2}=\frac{x_B+x_A+i(y_A+y_B)}{2}$.
 \end{itemize}

\end{sanscadre}

\section{Conjugué d'un nombre complexe}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Pour tout nombre complexe $z$  de forme algébrique $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels, on appelle \emphref{conjugué de $z$} le nombre noté $\bar{z}$ et défini par $\bar{z}=a-ib$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O ; \vec{u};\vec{v})$, si $M$ est le point d'affixe $z$, le point $M'$ d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{nombrescomplexesrepresentationconjugueimg.png}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
\begin{itemize}
 \nouvitem $z$ est réel si et seulement $\bar{z}=z$ ;
\nouvitem $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z}=-z$ ;
\nouvitem $\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$ ;
\nouvitem $\overline{zz'}=\bar{z}\bar{z'}$ ;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n}=\bar{z}^n$ ;
\nouvitem si $z\neq 0$, $\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\bar{z}}$ ;
\nouvitem si $z\neq 0$, $\overline{\frac{z'}{z}}=\frac{\bar{z'}}{\bar{z}}$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Soit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. $z=\bar{z}$ s'écrit $a+ib=a-ib$ c'est à $ib=-ib$ ou encore $2ib=0$ ce qui équivaut à $b=0$ c'est à dire $z=a$ réel.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ avec  $a$ et $b$ réels. $\bar{z}=-z$ équivaut à $a-ib=-(a+ib)$ c'est à dire $a-ib=-a-ib$ ce qui équivaut à $2a=0$ donc à $a=0$.
\nouvitem Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. $\bar{z}+{z'}=a-ib+a'-ib'=a+a'-i(b+b')=\overline{z+z'}$.
\nouvitem Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. D'une part, $\overline{zz'}=\overline{(a+ib)(a'+ib')}=\overline{aa'-bb'+iba'+ib'a}=aa'-bb'-i(ba'+b'a)$ et d'autre part, $\bar{z}\bar{z'}=(a-ib)(a'-ib')=aa'-bb'-ia'b-iab'=aa'-bb-i(ba'+b'a)$ d'où l'égalité.
\nouvitem Vrai pour $n=0$ car $z^0=1$. Si l'égalité $\overline{z^n}=\bar{z}^n$ est vraie pour un rang $n\in\mathbb{N}$, alors pour $n+1$, on a $\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n\times z}$. D'après la propriété précédente (qui n'est autre que le cas $n=2$...), on peut écrire que $\overline{z^{n+1}}=\bar{z^n}\bar{z}$. Or, par hypothèse de récurrence, on a $\overline{z^{n}}=(\bar{z})^n$ donc $\overline{z^{n+1}}=(\bar{z})^n\bar{z}=(\bar{z})^{n+1}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$ et par récurrence, on en déduit qu'elle est vraie pour tout rang $n\in\mathbb{N}^{*}$
\nouvitem Soit $z=a+ib$, alors $\overline{\frac{1}{z}}=\overline{\frac{1}{a+ib}}=\overline{\frac{a-ib}{a^2+b^2}}$ en multipliant par $a-ib$ le dénominateur et le numérateur. Ceci est encore égal à $\frac{a+ib}{a^2+b^2}$.\\
Par ailleurs, $\frac{1}{\bar{z}}=\frac{1}{a-ib}=\frac{a+ib}{a^2+b^2}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $a+ib$. D'où l'égalité.
\nouvitem $\overline{\frac{z'}{z}}=\overline{z'\frac{1}{z}}=\bar{z'}\overline{\frac{1}{z}}=\bar{z'}\frac{1}{\bar{z'}}=\frac{\bar{z'}}{\bar{z}}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{\'Equations du second degré à coefficients réels}

\cadre{
\begin{encadrer}{Théorème}
On considère l'équation $az^2+bz+c=0$ avec $a$, $b$, $c$ réels et $a\neq 0$ de discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta >0$, alors l'équation admet deux solutions réelles $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
 \nouvitem Si $\Delta=0$ alors l'équation admet une unique solution réelle $-\frac{b}{2a}$ ;
\nouvitem Si $\Delta <0$, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve (troisième cas)}
Dans tous les cas, $az^2+bz+c=a(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a})=a((z-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a((z-(-\frac{b}{2a}))^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$ est l'écriture canonique de $az^2+bz+c$.\\
L'équation s'écrit donc $(z-(-\frac{b}{2a}))^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\Delta}{4a^2}$.\\
Si $\Delta<0$ alors $-\Delta>0$ donc $\sqrt{-\Delta}$ existe et $(i\sqrt{-\Delta})^2=-(-\Delta)=\Delta$ donc $i\sqrt{-\Delta}$ a pour carré $\Delta$.\\
Par conséquent, $z-(-\frac{b}{2a})=\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ou $z-(-\frac{b}{2a})=-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ donc $z=\frac{-b+i\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $z=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\end{sanscadre}

\section{Module d'un nombre complexe}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $z=ai+b$ avec $a$ et $b$ réels un nombre complexe. On appelle \emphref{module de $z$} le nombre noté $|z|$ défini par $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, si $M$ est l'image de $z$, alors $OM=|z|$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $x$ est un nombre réel, alors le module de $x$ et la valeur absolue de $x$ sont égaux, d'où l'utilisation de la même notation.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $z=-3+\sqrt{3}i$ alors $|z|=\sqrt{(-3)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $|\bar{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$
\nouvitem  $|zz'|=|z||z'|$;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$ non nul, $|z^n|=[z|^n$  ;
\nouvitem $|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|}$ ;
\nouvitem $z\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem \'Evident.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ des réels. \\
D'une part, on a $zz'=aa'-bb'+i(a'b+ab')$ donc $|zz'|^2=(aa'-bb')^2+(a'b+ab')^2$ d'où $|zz'|^2=a^2a'^2-2aa'bb'+b^2b'^2+a'^2b^2+2aa'bb'+a^2b'^2
=a^2a'^2+b^2b'^2+a^2b'^2+a'^2b^2$.\\
D'autre part, on a $|z|^2=a^2+b^2$ et $|z'|^2=a'^2+b'^2$ donc $(|z||z'|)^2=(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)=aa'^2+a^2b'^2+a'^2b^2+a^2b'^2$.\\
D'où l'égalité $|zz'|^2=(|z||z'|)^2$ et l'égalité voulue.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^{*}}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, $|z^1|=|z|=|z|^1$ donc la propriété est vraie pour $n=1$.
Hérédité : si pour un rang $n\in\mathbb{N}^*,\, |z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z^nz|=|z^n||z|$ d'après la propriété précédente. Puisque par hypothèse de récurrence, $|z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z|^n|z|=|z|^{n+1}$. C'est la propriété au rang $n+1$.\\
Conclusion : Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraie, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $|z^n|=|z|^n$.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ des réels. \\
D'une part $\frac{z}{z'}=\frac{a+ib}{a'+ib'}=\frac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'+ib')}=\frac{aa'+bb'+i(ba'-ab')}{a'^2+b'^2}$ d'où $|\frac{z}{z'}|^2=(\frac{aa'+bb'}{a'^2+b'^2})^2+(\frac{ba'-ab'}{a'^2+b'^2})^2=\frac{a^2a'^2+b^2b'^2+b^2a'^2+a^2b'^2}{(a'^2+b'^2)^2}=\frac{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}{(a'^2+b'^2)^2}=\frac{a^2+b^2}{a'^2+b'^2}$.\\
D'autre part, $(\frac{|z|}{|z'|})2=\frac{(a^2+b^2)}{(a'^2+b'^2)}$.\\
D'où l'égalité.
\nouvitem $z\bar{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, soient $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $AB=|z_B-z_A|$ ;
\nouvitem L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels $|z-z_A|=|z-z_B|$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $M$ tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$. $M$ a pour affixe $z_B-z_A$ et $OM=|z|=|z_B-z_A|$.
\nouvitem $|z-z_A|=|z-z_B|$ se traduit par $AM=BM$ c'est à dire que $M$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\end{document}

