
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{15cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{minipage}{15cm}\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}\end{minipage}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres complexes, forme trigonométrique et exponentielle, cours, classe de terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Nombres complexes, forme trigonométrique et exponentielle, cours, terminale S}}
\end{center}


\section{Module et argument d'un nombre complexe}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$. Soit $z\in \mathbb{C}$ non nul d'image $M$ on appelle \emphref{argument de $z$} et on note $...............$ tout mesure en radians de l'angle orienté :
$$............................. $$
Si $\theta$ est une mesure de cet angle orienté, on note $\arg(z)=\theta$ (mod $2\pi$) ou plus simplement $\arg(z)=\theta$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $z$ un un nombre complexe non nul.
 \begin{itemize}
 \nouvitem l'écriture $$z=...................$$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$ est appelé  forme trigonométrique de $z$. 
 \nouvitem Réciproquement, si $z=$........................ avec $\rho>0$ alors $|z|=\rho$ et $\arg(z)=\alpha$.
 \nouvitem Si $z=x+iy$ alors $$\cos \theta=................. $$et $$\sin \theta=...................$$
 \end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
 \includegraphics[width=9cm]{nombrescomplexesrepresentationmoduleargumentimg.png}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tout nombre complexe $z$ non nul :
\begin{itemize}
\nouvitem $\arg{\bar{z}}=$........... ;
\nouvitem $z$ est réel si et seulement si $\arg(z)=.......... \, (2\pi)$ ou $\arg{z}=.......... \, (2\pi)$ c'est à dire si et seulement si $\arg(z)=.........\,(\pi)$.
\nouvitem $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\arg{z}=............\, (2\pi)$ ou $\arg{z}=.............\, (2\pi)$ c'est à dire si et seulement si $\arg(z)=.............,(\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls :
\begin{itemize}
\nouvitem $\arg(zz')=...............................\,(2\pi)$ ;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$ non nul, $\arg(z^n)=.........................\,(2\pi)$ ;
\nouvitem $\arg(\frac{z}{z'})=..................\,(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ et $z'=r'(\cos \alpha+i\sin \alpha)$.\par 
Alors $zz'=rr'(\cos \theta\cos \alpha+i\sin\theta\cos \alpha+i\sin\alpha\cos\theta-\sin\theta\sin\alpha)$\\
c'est à dire $zz'=rr'(\cos(\theta+\alpha)+i\sin(\theta+\alpha))$.\par 
donc $|zz'|=rr'$ et $\arg(zz')=\theta+\alpha$
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^*}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, $\arg(z^1)=\arg(z)=\arg(z)^1$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.
Hérédité : Si pour un rang $n\in\mathbb{N}^{*},\, \arg(z^n)=n\arg(z)$, alors $\arg(z^{n+1})=\arg(z^nz)=\arg(z^n)+\arg(z)$ d'après la première propriété. Puisque par hypothèse de récurrence, $\arg(z^n)=n\arg(z)$ donc $\arg(z^{n+1})=n\arg(z)+\arg(z)=(n+1)\arg(z)$ : c'est la propriété au rang $n+1$.\par 
Conclusion, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*},\,\arg(z^n)=n\arg(z)$.
\nouvitem En remarquant que $\frac{z}{z'}=z\times\frac{1}{z'}$ et en utilisant la première propriété, on en déduit qu'il suffit de montrer que $\arg(\frac{1}{z'})=-\arg{z'}$.\\
Or $\frac{1}{z'}=\frac{1}{r'(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))}=\frac{\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)}{r'(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))(\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)))}$\\
D'où $\frac{1}{z'}=\frac{\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)}{r'(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))}=\frac{1}{r'}(\cos(\alpha)-i\sin(\alpha))=\frac{1}{r'}(\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha))$\\
D'où $\frac{1}{z'}$ a pour module $\frac{1}{r'}$ et pour argument $-\alpha$ c'est à dire $-\arg{z'}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, soient $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $AB=$............. ;
\nouvitem $(\vec{u};\vec{AB})=$............ .
\nouvitem Si $C$ et $D$ sont deux autres points d'affixes respectives $z_C$ et $z_D$, $\arg{\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}=$...................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $M$ le point tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$. On a donc $z_M-z_O=z_B-zA$ donc $z_M=z_B-z_A$ et $AB=OM=|z_M|=|z_B-z_A|$.
\nouvitem En outre $(\vec{u};\vec{AB})=(\vec{u};\vec{OM})=\arg{(z_M)}\,(2\pi)=\arg{(z_B-z_A)}\,(2\pi)$.
\nouvitem $\arg{(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})}=\arg{(z_D-z_C)}-\arg{(z_B-z_A)}=(\vec{u};\vec{CD})-(\vec{u};\vec{AB})=(\vec{u};\vec{CD})+(\vec{AB};\vec{u})=(\vec{AB};\vec{u})+(\vec{u};\vec{CD})=(\vec{AB};\vec{CD})\,(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Notation exponentielle}

\begin{sanscadre}{Définition et propriété}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{C}$ par $f(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$, on a $f(\theta+\theta')=f(\theta)f(\theta')$.
\nouvitem On dit que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on définit $f'$ par : $f'(\theta)=\cos'(\theta)+i\sin'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos(\theta)$
\nouvitem On a $f'(\theta)=if(\theta)$, $f(0)=1$ et $f'(0)=i$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Seul le premier point n'est pas immédiat.\\
D'une part $f(\theta+\theta')=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')$\\
$=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')+i(\cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta'))$\\
Par ailleurs,$f(\theta)f(\theta')=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))$\\
$=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')+i(\cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta'))$\\
D'où l'égalité.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 D'après ce qui précède, par analogie avec la fonction exponentielle, on pose pour tout réel $\theta$ :
$$e^{i\theta}=....................................$$
Soit $z$ un nombre complexe non nul. L'écriture $z=....................$ où $r=|z|$ et $\theta$ est un argument de $z$ est appelée \emphref{forme exponentielle} de $z$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$ et tout entier naturel $n$ non nul :
\begin{itemize}
 \nouvitem $|e^{i\theta}|=$........ et $\arg(e^{i\theta})=$............. ;
\nouvitem $e^{i\theta}e^{i\theta'}=$................ ;
\nouvitem $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=$.................. ;
\nouvitem $\bar{e^{i\theta}}=$................. ;
\nouvitem $(e^{i\theta})^n=$.............. .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $\arg{(e^{i\theta})}=$........................... par définition.\\
  Par ailleurs, $|\cos(\theta)+i\sin(\theta)|^2=$......................... ........................ ...... .
\nouvitem $e^{i\theta}e^{i\theta'}=f(\theta)f(\theta')=f(\theta+\theta')=e^{i(\theta+\theta')}$
\nouvitem $e^{i\theta}e^{-i\theta}=$................. ................... . donc $e^{-i\theta}=$.................. et $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=$..................... ........................ .
\nouvitem $\overline{e^{i\theta}}=$........................ ...................... et $e^{-i\theta}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=$............................... d'où l'égalité.
\nouvitem On le montre par récurrence en utilisant le deuxième point.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On a la formule célèbre dite d'Euler : $$e^{i\pi}+1=0$$ qui fait intervenir les plus célèbres nombres de l'histoire des Mathématiques dans une formule très courte : $1$, $\pi$, $0$ et $e$,
\end{sanscadre}

\end{document}
