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\title{Nombres complexes, formes trigonométrique et exponentielle, Terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres complexes, formes trigonométriques et exponentielles, cours, classe de terminale S}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Module et argument d'un nombre complexe}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $z=ai+b$ avec $a$ et $b$ réels un nombre complexe. On appelle \emphref{module de $z$} le nombre noté $|z|$ défini par $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, si $M$ est l'image de $z$, alors $OM=|z|$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $x$ est un nombre réel, alors le module de $x$ et la valeur absolue de $x$ sont égaux, d'où l'utilisation de la même notation.
\nouvitem $z\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $z=-3+\sqrt{3}i$ alors $|z|=\sqrt{(-3)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$. Soit $z\in \mathbb{C}$ non nul d'image $M$ on appelle \emphref{argument de $z$} et on note $\arg(z)$ tout mesure en radians de l'angle orienté :
$$(\vec{u};\vec{OM})$$
Si $\theta$ est une mesure de cet angle orienté, on note $\arg(z)=\theta$ (mod $2\pi$) ou plus simplement $\arg(z)=\theta$.
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=10cm]{nombrescomplexesrepresentationmoduleargumentimg.png}
\end{center}

\newpage

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $z$ un nombre complexe non nul.
 \begin{itemize}
 \nouvitem l'écriture $z=r(\cos(\theta)+i\sin (\theta))$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$ est appelé \emphref{forme trigonométrique de $z$}. 
 \nouvitem Réciproquement, si $z=\rho (\cos(\alpha))+i\sin(\alpha))$ avec $\rho>0$ alors $|z|=\rho$ et $\arg(z)=\alpha$.
 \nouvitem Si $z=x+iy$ alors $$\cos \theta=\frac{x}{|z|}$$ et $$\sin \theta=\frac{y}{|z|}$$
 \end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tout nombre complexe $z$ non nul :
\begin{itemize}
\nouvitem $\arg{\bar{z}}=-\arg{z}$ ;
\nouvitem $z$ est réel $\Leftrightarrow$ $\arg(z)=0\, (2\pi)$ ou $\arg{z}=\pi\, (2\pi)\Leftrightarrow \arg{z}=0\, (\pi)$ ;
\nouvitem $z$ est imaginaire $\Leftrightarrow$ $\arg{z}=\frac{\pi}{2}\, (2\pi)$ ou $\arg{z}=-\frac{\pi}{2}\, (2\pi)\Leftrightarrow \arg{z}=\frac{\pi}{2}\,(\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ :
\begin{itemize}
\nouvitem  $|zz'|=|z||z'|$;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$, $|z^n|=[z|^n$  ;
\nouvitem $|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|}$ ;
\end{itemize}
Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls :
\begin{itemize}
\nouvitem $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\,(2\pi)$ ;
\nouvitem $\arg(z^n)=n\arg(z)\,(2\pi)$ pour tout entier naturel $n$ non nul ;
\nouvitem $\arg(\frac{z}{z'})=\arg(z)-\arg(z')\,(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ et $z'=r'(\cos \alpha+i\sin \alpha)$.\par 
Alors $zz'=rr'(\cos \theta\cos \alpha+i\sin\theta\cos \alpha+i\sin\alpha\cos\theta-\sin\theta\sin\alpha)$\\
c'est à dire $zz'=rr'(\cos(\theta+\alpha)+i\sin(\theta+\alpha))$ donc $|zz'|=rr'$ et $\arg(zz')=\theta+\alpha$.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^{*}}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, $|z^1|=|z|=|z|^1$ donc la propriété est vraie pour $n=1$.
Hérédité : si pour un rang $n\in\mathbb{N}^*,\, |z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z^nz|=|z^n||z|$ d'après la propriété précédente. Puisque par hypothèse de récurrence, $|z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z|^n|z|=|z|^{n+1}$. C'est la propriété au rang $n+1$
Conclusion : Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraie, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $|z^n|=|z|^n$.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^*}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, $\arg(z^1)=\arg(z)=\arg(z)^1$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.
Hérédité : Si pour un rang $n\in\mathbb{N}^{*},\, \arg(z^n)=n\arg(z)$, alors $\arg(z^{n+1})=\arg(z^nz)=\arg(z^n)+\arg(z)$ d'après la première propriété. Puisque par hypothèse de récurrence, $\arg(z^n)=n\arg(z)$ donc $\arg(z^{n+1})=n\arg(z)+\arg(z)=(n+1)\arg(z)$ : c'est la propriété au rang $n+1$.\par 
Conclusion, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*},\,\arg(z^n)=n\arg(z)$.
\nouvitem En remarquant que $\frac{z}{z'}=z\times\frac{1}{z'}$ et en utilisant la première propriété, on en déduit qu'il suffit de montrer que $\arg(\frac{1}{z'})=-\arg{z'}$.\\
Or $\frac{1}{z'}=\frac{1}{r'(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))}=\frac{\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)}{r'(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))(\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)))}$\\
D'où $\frac{1}{z'}=\frac{\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)}{r'(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))}=\frac{1}{r'}(\cos(\alpha)-i\sin(\alpha))=\frac{1}{r'}(\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha))$\\
D'où $\frac{1}{z'}$ a pour module $\frac{1}{r'}$ et pour argument $-\alpha$ c'est à dire $-\arg{z'}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriétés}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, soient $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $AB=|z_B-z_A|$ ;
\nouvitem $(\vec{u};\vec{AB})=\arg(z_B-z_A)$.
\nouvitem Si $C$ et $D$ sont deux autres points d'affixes respectives $z_C$ et $z_D$, $\arg{\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}=(\vec{AB};\vec{CD})$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $M$ le point tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$. On a donc $z_M-z_O=z_B-zA$ donc $z_M=z_B-z_A$ et $AB=OM=|z_M|=|z_B-z_A|$.
\nouvitem En outre $(\vec{u};\vec{AB})=(\vec{u};\vec{OM})=\arg{(z_M)}\,(2\pi)=\arg{(z_B-z_A)}\,(2\pi)$.
\nouvitem $\arg{(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})}=\arg{(z_D-z_C)}-\arg{(z_B-z_A)}=(\vec{u};\vec{CD})-(\vec{u};\vec{AB})=(\vec{u};\vec{CD})+(\vec{AB};\vec{u})=(\vec{AB};\vec{u})+(\vec{u};\vec{CD})=(\vec{AB};\vec{CD})\,(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Notation exponentielle}

\begin{sanscadre}{Définition et propriété}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{C}$ par $f(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$, on a $f(\theta+\theta')=f(\theta)f(\theta')$.
\nouvitem On dit que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est définie par : $f'(\theta)=\cos'(\theta)+i\sin'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos(\theta)$
\nouvitem On a $f'(\theta)=if(\theta)$, $f(0)=1$ et $f'(0)=i$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Seul le premier point n'est pas immédiat. D'une part,
\begin{align*}
 f(\theta+\theta')&=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')\\
 &=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')+i(\cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta'))\\
\end{align*}
Par ailleurs,
\begin{align*}
 f(\theta)f(\theta')&=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))\\
 &=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')+i(\cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta'))\\
\end{align*}
D'où l'égalité.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
 D'après ce qui précède, par analogie avec la fonction exponentielle, on pose pour tout réel $\theta$ :
$$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$
Soit $z$ un nombre complexe non nul. L'écriture $z=re^{i\theta}$ où $r=|z|$ et $\theta$ est un argument de $z$ est appelée \emphref{forme exponentielle} de $z$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$ et tout entier naturel $n$ non nul :
\begin{itemize}
 \nouvitem $|e^{i\theta}|=1$ et $\arg(e^{i\theta})=\theta$ ;
\nouvitem $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ;
\nouvitem $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$ ;
\nouvitem $\bar{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ ;
\nouvitem $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $|e^{i\theta}|=|\cos(\theta)+i\sin(\theta)|$ par définition. Par ailleurs, $|\cos(\theta)+i\sin(\theta)|^2=(\cos(\theta))^2+(\sin(\theta))^2=1$.
\nouvitem $e^{i\theta}e^{i\theta'}=f(\theta)f(\theta')=f(\theta+\theta')=e^{i(\theta+\theta')}$
\nouvitem $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{i\theta-i\theta}=e^{0}=1$ donc $e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}}$ et $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i\theta}\frac{1}{e^{i\theta'}}=e^{i\theta}e^{-i\theta'}$
\nouvitem $\overline{e^{i\theta}}=\overline{\cos(\theta)+i\sin(\theta)}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ et $e^{-i\theta}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ d'où l'égalité.
\nouvitem On le montre par récurrence en utilisant le deuxième point.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}


%\section{Application des nombres complexes à la géométrie}

%\begin{encadrer}{Propriété}
% Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$.
%\begin{itemize}
% \nouvitem Si $z'=z+b$ où $b\in\mathbb{C}$, alors $f$ est la translation de vecteur ayant pour affixe $b$.
%\nouvitem Si $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ où $\omega\in\mathbb{C}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, alors $f$ est la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$.
%\nouvitem Si $z'-\omega=k(z-\omega)$ où $k\in \mathbb{C}$ et $k\in \mathbb{R}*$, alors $f$ est l'homothétie de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et de rapport $k$.
%\end{itemize}
%\end{encadrer}

%\begin{sanscadre}{Preuve}
% \begin{itemize}
%  \nouvitem $z'=z+b$ s'écrit $z'-z=b$ c'est à dire $z_{\vec{MM'}}=b$ ce qui s'interpréte géométriquement par  $M'$ est l'image de $M$ par la trnaslation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$.
% \end{itemize}
%\end{sanscadre}



\end{document}

