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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Limites de suites, cours, terminale S}


\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Limites de suites, cours, terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage



\section{Convergence de suites}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $(u_n)$ une suite.

On dit que $(u_n)$ \emphref{converge vers un réel} $l$ ou \emphref{a pour limite $l$} lorsque tout intervalle ouvert $A$ contenant $l$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang $N$ c'est à dire que pour tout $n\geq N$, $u_n\in A$. On dit alors que la suite est convergente et que $l$ est sa limite. On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=l$ ou $lim_{n} u_n=l$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors celle-ci est unique.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Procédons par l'absurde. Supposons que $(u_n)$ converge vers une limite $l$ et soit $l'$ un réel différent de $l$. On supposera ici que $l'<l$, le cas $l'>l$ se traitant de la même manière. Il existe donc un nombre réel $e$ positif tel que $l'+e<l-e$. Comme $(u_n)$ converge vers $l$, à partir d'un certain rang $N$, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]l-e;l+e[$. Comme $(u_n)$ converge vers $l'$, à partir d'un certain rang $N'$, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]l'-e;l'+e[$. Donc, à partir du plus grand rang entre $N$ et $N'$, tous les termes de la suite devraient être dans les deux intervalles $]l-e;l+e[$ et $l'-e;l'+e[$ ce qui est impossible car ils sont disjoints. Donc la supposition faite en début de preuve était fausse, c'est à dire que $l=l'$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Soit $(u_n)$ suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq p$ et convergente vers une limite $l$. L'algorithme suivant donne le rang $n$ du premier terme de la suite situé à une distance inférieure à un réel positif $e$ de la limite $l$ :

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $u_p$, $l$, $e$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
$n \leftarrow p$;\\
\Tq{$|u-l|\geq e$}{
$u \leftarrow f(u)$ ;\\
$n \leftarrow n+1$}
\Retour{$n$}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=u_n^2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=0,75$ $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici) puis les termes successifs. On admettra que la suite $(u_n)$ converge vers 0 ; on a donc $l=0$ ici. $e$ (ou $er$ sous Xcas où $e$ est une constante fixée) désigne la différence entre les termes et la limite qui doit être obtenue.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\begin{minipage}[t]{4cm}
\begin{sanscadrec}{TI}{green}
Prompt $P$,$U$,$E$, $L$\\
While $abs(U-L)>E$\\
$P+1\vartriangleright P$\\
$U^2\vartriangleright U$\\
End\\
Disp "P=",$P$\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{4cm}
\begin{sanscadrec}{Casio}{blue}
"$P$":?$\rightarrow P$\\
"$U$":?$\rightarrow U$\\
"$L$":?$\rightarrow L$\\
"$E$":?$\rightarrow E$\\
While $Abs(U-L)>E$\\
$P+1\rightarrow P$\\
$U^2\rightarrow U$\\
WhileEnd\\
"$P$":$P$\includegraphics[width=0.3cm]{affichercasio.png}\\
\end{sanscadrec}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{7cm}
\begin{sanscadrec}{XCas}{magenta}
\begin{verbatim}
saisir("Premier rang p :",p);
saisir("Premier terme u_p :",u);
saisir("Limite :",l);
saisir("Différence limite :",err); 
tantque abs(u-k)>err faire
   u:=u^2;
   fpour;
afficher("Rang obtenu : ",u); 
\end{verbatim}
\end{sanscadrec}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\section{Convergence de suites de référence}

\begin{encadrer}{Propriété (limites finies de suites de référence)}
Les suites $(\frac{1}{n})$, $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ et $(\frac{1}{n^p})$ où $p$ est un entier naturel non nul sont convergentes et on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^p}=0$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem On considère un intervalle ouvert contenant 0. soit $a$ un réel positif strictement tel que $]-a;a[$ soit inclus dans cet intervalle. Alors il existe un nombre entier N tel que $\frac{1}{N}<a$. Comme $(\frac{1}{n})$ est strictement décroissante et positive, pour tout rang $n>N$, on a $-a<\frac{1}{n}<a$ donc $\frac{1}{n}$ qui appartient à l'intervalle. Par conséquent, la suite converge vers 0.
\nouvitem On considère un intervalle ouvert contenant 0. Soit $a$ un réel positif strictement tel que $]-a;a[$ soit inclus dans cet intervalle. On cherche un entier $N$ tel que  $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq a$ ce qui équivaut à $\sqrt{N}\geq \frac{1}{a}$ donc à $N\geq\frac{1}{a^2}$. Soit donc $N$ tel que $N\geq \frac{1}{a^2}$, le calcul précédent montre que $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq a$ et, la suite $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ étant décroissante et positive, pour tout $n\geq N$, $-a<\frac{1}{\sqrt{n}}< a$. Ceci prouve que la suite a pour limite 0.
\nouvitem Démarche identique aux précédentes.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Divergence de suites}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem On dit qu'une suite est \emphref{divergente} si elle ne converge pas.\par
\nouvitem On dit que la suite $(u_n)$ \emphref{diverge vers} $+\infty$ ou \emphref{a pour limite} $+\infty$ (resp. $-\infty$) lorsque tout intervalle de la forme $[a;+\infty[ $ où $a$ est un réel (resp. $]-\infty ;a]$), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
(resp. $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$)
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Une suite peut être divergente et ne pas admettre de limite, par exemple $(sin(n))$.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{suiteSansLimite.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété (limites infinies de suites de référence)}
On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ ;
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n}=+\infty$ ;
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^p=+\infty$ avec $p$ entier naturel non nul ;
\nouvitem Pour tous les réels $m$ et $p$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}mx+p=signe(m)\infty$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout intervalle $]a;+\infty[$, soit $N$ entier naturel tel que $N>a$, alors pour tout rang $n$ tel que $ n\geq N$, $n$ est dans l'intervalle $]a;+\infty[$ donc la suite diverge vers $+\infty$.
\nouvitem Pour tout intervalle $]a;+\infty[$, On cherche $N$ entier naturel tel que $\sqrt{N}>a$ c'est à dire $N>a^2$. Soit donc $N$ tel que $N>a^2$. Alors $\sqrt{N}>a$ et pour tout rang $n\leq N$, on a $\sqrt{n}>a$ donc la suite $(\sqrt{n})$ est divergente vers $+\infty$. 
\nouvitem Même démarche.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Opérations sur les limites de suites}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite.
\begin{itemize}
\nouvitem si $k$ est un réel et si $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors la suite $(ku_n)$ est convergente vers $kl$ ;
\nouvitem si $k$ est un réel et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) alors $ku_n$ diverge vers $signe(k)\infty$ (resp $-signe(k)\infty$) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $k=0$ le résultat est évident. On supposera en outre que $k>0$, la démarche étant identique pour $k<0$.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $A$ un intervalle ouvert contenant $kl$. Il existe donc un réel $a>0$ tel que $]kl-a;kl+a[$ est inclus dans $A$. Comme $(u_n)$ est convergente vers $l$, il existe un rang $N$ tel que pour tout rang $n\geq N$, $u_n\in ]l-\frac{a}{k};l+\frac{a}{k}[$ qui est un intervalle ouvert contenant $kl$. D'où pour tout $n\geq N$, $ku_n\in ]kl-a;kl+a[$ ce qui assure que la suite converge vers $kl$.
\nouvitem Soit $a>0$ un réel. Alors, puisque $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, il existe un rang $N$ tel que pour tous les rangs $n\geq N$, $u_n>\frac{a}{k}$. D'où pour tout $n\geq N$, $ku_n>a$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Propriété}
\pdfrowcolors{}

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  $\lim u_n$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $l$ & $l$ \\
\hline
 $\lim v_n$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim u_n+v_n$ & $l+l'$& $+\infty$ & indéterminée & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim u_n\times v_n$ & $ll'$& $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & signe($l$)$\infty$, $l\neq 0$ & -signe($l$)$\infty$, $l\neq 0$\\
\hline
$\lim \frac{u_n}{v_n}$ & si $l'\neq0$, $\frac{l}{l'}$ & indéterminée & indéterminée & indéterminée & 0 & 0 \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuves}
Admises
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $u_n$ définie par $u_n=\frac{3n^4+n}{n^3}$ pour tout $n\geq 1$. On a alors $u_n=3n+\frac{1}{n}$. Comme $lim_{n\rightarrow+\infty}=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$, la suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$.
\nouvitem Soit $v_n$ définie par $v_n=5n^2-6n$ pour tout $n\geq 0$. On a alors $v_n=n(5n-6)$. Or $\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}5n-6=+\infty$ donc $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
%/
%/\begin{encadrer}{Propriétés}
%/Soit $p$ un entier naturel. Soient $a_0$, $a_1$, $a_2$,..., $a_p$ des réels avec $a_p\neq 0$.
%/\begin{itemize}
%/\nouvitem  Alors : $$\lim_{n\rightarrow +\infty} a_p n^p+a_{p-1} n^{p-1}+...+a_1 n+a_0=\lim_{n\rightarrow +\infty} a_p n^p$$ et $$\lim_{n\rightarrow -\infty} a_p n^p+a_{p-1} n^{p-1}+...+a_1 n+a_0=\lim_{n\rightarrow -\infty} a_p n^p$$.
%/
%/\nouvitem Soit $q$ un entier naturel. Soient $b_0$, $b_1$, ... $b_q$ des réels avec $b_q\neq 0$.
%/Alors : $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_1n+a_0}{b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+...+b_1n+b_0} = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_p n^p}{b_q n^q}$$ et $$\lim_{n\rightarrow -\infty} \frac{a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_1n+a_0}{b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+...+b_1n+b_0} = \lim_{n\rightarrow -\infty}\frac{a_p n^p}{b_q n^q}$$
%/\end{itemize}
%/\end{encadrer}

%/\begin{sanscadre}{Preuve}
%/\begin{itemize}
%/\nouvitem On écrit que :\\
%/$a_p n^p+a_{p-1} n^{p-1}+...+a_1 n+a_0=a_pn^p(1+\frac{a_{p-1}n^{p-1}}{a_pn^p}+...+\frac{a_1n}{a_pn^p}+\frac{a_0}{a_pn^p})=a_pn^p(1+\frac{a_{p-1}}{a_pn}+...+\frac{a_0}{a_pn^p})$
%/Comme $\lim_{n\rightarrow \pm\infty} (1+\frac{a_{p-1}}{a_pn}+...+\frac{a_0}{a_pn^p})=1$, on obtient le résultat.
%/\nouvitem On écrit que $\frac{a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_1n+a_0}{b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+...+b_1n+b_0}=\frac{a_pn^p(1+\frac{a_{p-1}}{a_pn}+...+\frac{a_0}{a_pn^p})}{b_qn^q(1+\frac{b_{q-1}}{b_qn}+...+\frac{b_1}{b_qn^{q-1}}+\frac{b_0}{b_qn^q})}$\\
%/On étudie de même la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ avec cette écriture.
%/\end{itemize}
%/\end{sanscadre}

\section{Inégalités et limites de suites}

\begin{encadrer}{Propriété, théorème de comparaison des limites $\odot$}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $+\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\geq u_n$. Alors $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $-\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\leq u_n$. Alors $(v_n)$ diverge vers $-\infty$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère un intervalle de la forme $]a;+\infty[$ où $a$ est un réel. $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ donc à partir d'un certain rang $N$ les termes de la suite $(u_n)$ sont dans l'intervalle $]a;+\infty[$. A partir d'un certain rang $N'$, $v_n\geq u_n$ donc à partir du plus grand des rang $N$ et $N'$, les termes de la suite $(v_n)$ sont dans $]a;+\infty[$ ce qui démontre que la suite $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.
\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Théorème dit \og{}théorème des gendarmes\fg{}}
Soient $u$, $v$ et $w$ des suites avec $v$ et $w$ convergentes vers une même limite $l$. Si, à partir d'un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$, alors la suite $u$ est convergente vers $l$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère un intervalle ouvert contenant $l$. Il existe donc un nombre réel $e$ strictement positif tel sue $]l-e;l+e[$ est inclus dans cet intervalle. La suite $(v_n)$ converge vers $l$ donc à partir d'un certain rang $N$, $v_n$ est supérieur à $l-e$. La suite $(w_n)$ est convergente donc à partir à partir d'un certain rang $N'$, $w_n<l+e$. En outre, à partir d'un certain rang $N''$, on a $ v_n\leq u_n\leq w_n$, donc à partir du plus grand des trois rangs $N$, $N'$ et $N''$, on a $u_n\geq v_n> l-e$ et $u_n\leq w_n<l+e$ donc $w_n$ est dans l'intervalle considéré. Ceci montre que la suite converge vers $l$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $(u_n)$ une suite croissante et convergente vers un réel $l$. Alors tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs ou égaux à $l$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Démontrons ce résultat par l'absurde. Pour cela, on suppose qu'il existe un terme de la suite, appelons le $(u_N)$, qui est supérieur strictement à $l$. Soit $d=u_N-l$. On a donc $d>0$.\\
On considère l'intervalle $]l-d;l+d[$. $u_N$ n'appartient donc pas à cet intervalle. $(u_n)$ étant une suite croissante, pour tout entier naturel $n\geq N$, $u_n>u_N>l+d$ et donc $u_n\notin ]l-d;l+d[$.\\
On vient donc de trouver un intervalle pour lequel quelque soit le rang $p$ choisi, il existe des termes de la suite plus grand que $p$ (les termes de rang $n$ supérieur au maximum de $p$ et $N$) qui n'appartiennent pas à cet intervalle : cela contredit la définition de la convergence de la suite vers $l$.\\
Cette contradiction montre que la supposition faite au départ est absurde, on ne peut donc pas trouver de terme de la suite qui soit supérieur strictement à $l$. D'où le résultat.
\end{sanscadre}

\section{Convergence des suites monotones}

\begin{encadrer}{Théorème de la limite monotone}
 Toute suite monotone et bornée est convergente.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Admise
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{conséquence}
Soit $(u_n)$ une suite croissante.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors elle est divergente vers $+\infty$.
\nouvitem Si $(u_n)$ est majorée, alors elle est convergente.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Soit $a$ un réel. Il s'agit de montrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]a:+\infty[$.\\
La suite n'est pas majorée par $a$ donc il existe un rang $N$ tel que $u_N$ soit supérieure strictement à $a$, c'est à dire $u_N\in]a;+\infty[$. Puisque la suite est croissante, pour tout $n\geq N$, $u_n\geq u_N>a$ donc $u_n\in]a;+\infty[$.\\
Cela signifie que la suite admet pour limite $+\infty$.
\nouvitem Comme $(u_n)$ est croissante, elle est minorée par son premier terme. Comme est aussi majorée, elle est bornée. Par le théorème de la limite monotone, on en déduit qu'elle est convergente.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Limite de suites géométriques}

\begin{encadrer}{Propriété (limite des suites géométriques)$\odot$}
 Soit $q$ un réel. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite $+\infty$ ;
\nouvitem si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite $0$ ;
\nouvitem si $q<-1$, alors la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
\nouvitem Si $q>1$ alors $q=1+x$ avec $x>0$. Considérons la fonction $h$ définie par $h(x)=(1+x)^n-(1+nx)$.\\
La fonction $h$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $h'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=n((1+x)^n-1$.\\
Pour tout $x\geq 0$, on a $h'(x)\geq 0$ donc $h$ est croissante et de $h(0)=0$ on déduit $(1+x)^n-(1+nx)\geq 0$ donc $(1+x)^n\geq 1+nx$.\\
Puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+nx)=+\infty$, on a donc $q^n=(1+x)^n$ qui tend vers $+\infty$.
\nouvitem Si $-1<q<1$, alors $|q|<1$ donc $\frac{1}{|q|}>1$ et d'après le cas précédent $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{|q|^n}=+\infty$ d'où $(|q|^n)$ tend vers 0.\\
Par suite, $|q|^n=q^n$ si $q>0$ ou si $n$ est pair et $|q|^n=-q^n$ sinon,  d'où $-|q|^n\leq q^n\leq |q|^n$ et par le théorème des gendarmes $(q^n)$ tend vers 0.
\nouvitem Si $q=-1$, la suite des termes impaires est dans $]-\infty;-1[$ et la suite des termes paires est dans $[1+\infty[$ donc la suite $(q^n)$ ne peut pas converger. 
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\end{document}
