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\begin{document}

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\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Récurrence et suites, cours, terminale S}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Récurrence et suites, cours, terminale S}}
\end{center}

\section{Démonstration par récurrence}

\begin{encadrer}{Axiome de récurrence}
 Soit $P(n)$ une propriété qui dépend d'un nombre entier naturel $n$ et soit $n_0$ un nombre entier naturel. Si la propriété $P(n)$ vérifie les deux conditions suivantes :
\begin{itemize}
 \nouvitem Initialisation : $P(n_0)$ est vraie ;
 \nouvitem Hérédité : Si $P(k)$ est vraie pour un nombre entier naturel $k\geq n_0$ alors $P(k+1)$ est vraie;
\end{itemize}
Alors pour tout nombre entier naturel  $n\geq n_0$, $P(n)$ est vraie.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Démontrons la propriété suivante : Si $u$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors pour tout entier naturel $n\leq 1$, alors $u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n)'=nu'u^{n-1}$.\\
\begin{itemize}
 \nouvitem Initialisation : pour $n=1$, $u'=1\times u'\times u^{1-1}$ donc la propriété est vraie au rang 1.
  \nouvitem Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain rang $k\geq 1$, c'est à dire que $u^k$ est dérivable sur $I$ et que $(u^k)'=ku'u^{k-1}$.\\
Alors $u^{k+1}=u^k\times u$ donc, $u^k$ et $u$ étant dérivables, le produit $u^{k+1}$ est dérivable sur $I$.\\
Par ailleurs, $(u^{k+1})'=(u^k)'\times u + u^k \times u'$ d'après la formule de dérivation des produits.\\
Donc $(u^{k+1})'=ku'u^{k-1}\times u + u^k\times u'$ par hypothèse de récurrence\\
Finalement, on a donc $(u^{k+1})'=ku'u^{k}+u'u^{k}=(k+1)u'u^{k}$ ce qui est l'écriture de la propriété au rang $k+1$ : la propriété est donc vraie au rang $k+1$ et donc héréditaire.
\nouvitem Conclusion : d'après l'axiome de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout rang $n\geq 1$ avec $n$ entier naturel.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{\'Etude de suites}

\subsection{Suites majorées, minorées, bornées}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un certain rang $p\in \mathbb{N}$. $(u_n)$ est dite :
\begin{itemize}
 \nouvitem \emphref{majorée} à partir du rang $p$ s'il existe un réel $M$ tel que pour tout entier naturel $n\geq p$, $u_{n}\leq M$ ;
\nouvitem \emphref{minorée} à partir du rang $p$ s'il existe un réel $m$ tel que pour tout entier naturel $n\geq p$, $u_n\geq m$ ;
\nouvitem \emphref{bornée} à partir du rang $p$ si elle est majorée et minorée à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\item[Suite définie en fonction de $n$ : ] Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=3-\frac{4}{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.\\
Alors pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n-3=.............$ d'où le signe de $u_n-3$ est .......... c'est à dire $u_n .... 3$.\\
La suite $(u_n)$ est donc .................. par 3.
\item[Suite définie par récurrence : ] Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$.\\
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq 1$, $0<u_n<3$.
\begin{itemize}
 \nouvitem Initialisation : Pour $n=1$, $u_1=$...... donc ........ .
\nouvitem Hérédité : Supposons que pour un rang $k\geq 1$, $0<u_k<3$.\\
Soit $f$ la fonction définie sur $]-5;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+5}$.\\
On a $f'(x)=$................. donc $f$ est strictement ................... sur $]-5;+\infty[$.\\
Comme $f(0)=$.... et $f(3)=.............$, on a donc pour tout $x\in [0;3]$, $f(x)\in .............$.\\
De $0<u_k<3$, on déduit donc $....<f(u_k)<....$, c'est à dire $....<u_{k+1}<....$, la propriété est donc héréditaire.
\nouvitem Conclusion : par l'axiome de récurrence, on a obtient donc pour tout $n\geq 1$, $0<u_n<3$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{\'Etude de variations de suites récurrentes}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=0,3u_n+1$.\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0,3x+1$. $f$ est .................. sur $\mathbb{R}$.\\
Montrons par récurrence que $(u_n)$ est une suite \emphref{décroissante}, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}-u_{n-1}.....$\\
\begin{itemize}
 \nouvitem Initialisation : $u_1-u_0=....$ ;
\nouvitem Hérédité : on suppose que pour un rang $k\geq 1$, $u_{k}-u_{k-1}<0$.\\
Alors $u_k<u_{k-1}$ et, comme la fonction $f$ est strictement .............. , $f(u_k).....f(u_{k-1})$, c'est à dire $u_{k+1}....u_k$ donc $u_{k+1}-u_k.....0$.\\
Par conséquent, la propriété est vraie au rang $k+1$ et est donc héréditaire.
\nouvitem Conclusion : Par récurrence, on donc pour tout $n\geq 1$, $u_{n}<u_{n-1}$, c'est à dire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}
