\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color,epic,eepic}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{setspace}

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

%\setlength\textwidth{17cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{24.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0cm} 

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}


\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Probabilités conditionnelles, cours, terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Probabilités conditionnelles, cours, terminale S}}
\end{center}



\section{Notion de probabilité conditionnelle}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout événement $A$ non impossible et tout événement $A$, on appelle \emphref{probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$} et notée $P_A(B)$ le nombre $$P_A(B)=...................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Lors d'un sondage, 50\% personnes des interrogées déclarent pratiquer un sport régulièrement et 75\% des
personnes interrogées déclarent aller au cinéma régulièrement. De plus, 40\% des personnes déclarent faire du sport et aller au cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et on considère les événements \og{}la personne interrogée pratique un sport régulièrement\fg{} et \og{}la personne interrogée va au cinéma régulièrement\fg{} que l'on notent $S$ et $C$ respectivement.
On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un sport régulièrement sachant qu'elle va régulièrement au cinéma.

On a $P(C)=0,75$ et $P(S\cap C)=0,4$. Donc $P_C(S)=$................. .............. .
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux événements non impossibles d'un univers donné. La connaissance de la probabilité d'un événement $B$ et de la probabilité conditionnelle d'un événements $A$ sachant $B$ permet de retrouver la probabilité $P(A\cap B)$ de l'intersection de $A$ et $B$ avec la formule $$P(A\cap B)=..............$$.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les événements $A$ et $B$ tels que $P(A)\neq 0$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $P_A(A)=......$ ;
\nouvitem $P_A(\bar{B})=............$ ;
\nouvitem Si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles (c'est à dire ne pouvant pas se réaliser simultanément ou encore tels que $A\cap B=.........$) alors $P_A(B)=.....$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\section{Arbre pondérés}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ProbabilitesConditionnellesCoursArbre.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Le schéma ci-dessus est appelé \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités}. Il comporte 4 \emphref{chemins} : $.........$, $...........$, $............$ et $..............$. Un \emphref{noeud} est un point d'où partent ............. ............... .
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités} comme ci-dessus,
\begin{itemize}
\nouvitem La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1 (par exemple, $P_A(B)+P_A(\bar{B})=....$) ;
\nouvitem la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches (par exemple, $P(A\cap B)=.................$) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\section{Partitions et formule des probabilités totale}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ pour $n\geq 1$ des parties non vides d'un ensemble $E$. On dit que $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment \emphref{une partition} de $E$ si les deux conditions suivantes sont vérifiées 
\begin{itemize}
 \nouvitem $A_1\cup A_2\cup ... \cup A_n=.........$ ;
\nouvitem pout tout $i\in \{1;2;...;n\}$ et tout $j\in\{1;2;...;n\}$ avec $i\neq j$, on a $A_i\cap A_j=..........$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=5cm]{probabilitescoursTSimgpartition.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Formule des probabilités totale}
 Si $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment une partition d'un univers $E$, alors pour tout événement $B$ de l'univers $E$ :
$$P(B)=.................... ..................$$
ou encore
$$P(B)=.................. ....................$$
En particulier, pour tout événement $B$,
$$P(B)=...................... ....................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Sur l'arbre pondéré du paragraphe précédent, la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le compose (par exemple, $P(B)=............... .................$).
\end{sanscadre}



\section{Indépendance d'événements}

\begin{encadrer}{Définition}
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont \emphref{indépendants} lorsque $$P(A\cap B)=.............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $P(A)\neq 0$ alors deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=...........$ si et seulement si $P_B(A)=............$ avec $P(B)\neq 0$, ce qui signifie que la probabilité que l'un des deux événements se réalise ne dépend pas de la probabilité que l'autre se réalise.
\end{sanscadre} 

\begin{sanscadre}{Exemple}
On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On appelle $A$ l'événement \og{}on tire un as\fg{}, $T$ l'événement \og{}on tire un  trèfle\fg{} et $N$ l'événement \og{}on tire une carte noire\fg{}. On a $P(A)=.................$, $P(T)=...........$ et $P(N)=..................$.

 D'une part $A\cap T$ est l'événement \og{}on tire l'as de trèfle\fg{} et $P(A)P(T)=$............ ............. qui est bien égal à ................. ce qui montre que $A$ et $T$ sont indépendants. 
 
 D'autre part, $T\cap N$ est l'événement \og{}on tire un trèfle et une carte noire\fg{} dont la probabilité est ................ mais on a $P(T)P(N)=$................ ............... $\neq P(T\cap N)$ ce qui confirme que les événements $T$ et $N$ ne sont évidemment pas indépendants.
 
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété $\odot$}
Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$ sont aussi indépendants.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Si $A$ et $B$ sont indépendants dans un univers $E$ alors $P(A\cap B)=...................$. $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(\bar{A}\cap B)=$...................... . Or $P(B)=P(\bar{A}\cap B)+P(A\cap B)=.....$ d'après la formule des probabilités totales. D'où $P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=$..................... par indépendance de $A$ et $B$. Donc $P(\bar{A}\cap B)=(1-P(\bar{A}))P(B)=$................... . D'où l'indépendance de $\bar{A}$ et $B$.
\end{sanscadre}

\end{document}

