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\title{Lois de probabilités continues, cours,  terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Lois de probabilités continues, cours, classe de terminale S}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Lois de probabilités continues, cours, terminale S}}
\end{center}


\section{Généralités sur les lois de probabilités continues}

\begin{encadrer}{Notation}
 On considère un univers $I$ de la forme $[a;b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$ ou de la forme $[a;+\infty[$ avec $a$ réel. 
On notera :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\int_a^bf (x)dt$ dans le premier cas ;
  \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt$ dans le deuxième cas.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
Avec les notations précédentes :
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle \emphref{densité de probabilité} sur $I$, toute fonction $f$ continue et ................. telle que 
$$\int_{I}f(t)dt=....$$
\nouvitem On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $I$ suit une loi de probabilité de densité $f$ sur $I$ si pour tout intervalle $J$ inclus dans I : 
$$P(X\in J)=................t$$
\end{itemize}
Une telle variable aléatoire est dite ................... sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité continue de densité $f$ sur $I$.
\begin{itemize}
 \nouvitem $P(X\in I)=......$ ;
\nouvitem Pour tout réel $x$, $P(X=x)=\int_{x}^{x}f(t)dt=......$ ;
\nouvitem $P(X\in[a;b])=P(X\in ..a;b..)=P(X\in ..a;b..)=P(X\in..a;b..)$ et $P(X\leq a))=P(X...a)$ pour tous les réels $a$ et $b$ avec $a<b$.
\end{itemize}

\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Notation}
 On note $P(a\leq X\leq b)=P(X\in [a;b])$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Loi uniforme}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $[a;b]$ un intervalle avec $a$ et $b$ réels. On appelle \emphref{loi uniforme} sur $[a;b]$ , la loi de probabilité dont la densité $f$ est :
$$f(x)=.............$$ pour tout réel $x\in[a;b]$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 On a $f\geq ....$ et on vérifie que $\int_{a}^{b}f(t)dt=....$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$. Alors l'espérance $E(X)$ de $X$ est :
$$E(X)=\int_{a}^{b}tf(t)dt=............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 La fonction \texttt{Alea()} du tableur donne des valeurs suivants la loi uniforme sur $[0;1]$.
\end{sanscadre}


\newpage


\section{Loi exponentielle}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
 Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On appelle \emphref{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$ la loi de probabilité dont la densité $f$ est définie par :
$$f(t)=................$$
pour tout réel $t\in [0;+\infty[$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 On a $f\geq ...$ et $\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}f(t)dt=...$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une loi de probabilité suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tout réel $b$, $P(X\leq b)=...................$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P(X\leq b)=P(...\leq X\leq ...)=\int_{...}^{...}................dt=[..................]_{...}^{...}=....$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tous les réels positifs $t$ et $h$ :
$$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=..............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\frac{P(...............\cap ..............)}{P(...............)}=
\frac{P(X\geq .......)}{P(X\geq ......)}=\frac{1-P(X< ......)}{1-P(X<.....)}=....$
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $$E(X)=...........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
Soit $g$ la fonction définie par $g(t)=\lambda te^{-\lambda t}$ pour tout $t\geq 0$.\\
On cherche une primitive $G$ de $g$ de la forme $G(t)=.............................$ avec $a$ et $b$ réels à déterminer.\\
On a $G'(t)=..............$ ..................... ...................... ......................\\
$G'(t)=g(t)$ pour ............... et ................... c'est à dire ................ et ................ d'où $G(t)=..................$
On a donc $\int_{0}^{b}g(t)dt=G(b)-G(0)$.\\
Or $G(0)=-\frac{1}{\lambda}$ et $G(b)=.............$.\\
Comme $\lim_{b\rightarrow +\infty}be^{-\lambda b}=....$ et $\lim_{b\rightarrow +\infty}{e^{-\lambda b}}=....$ on a donc $\lim_{b\rightarrow +\infty}G(b)-G(0)=\frac{1}{\lambda}$
\end{sanscadre}

\end{document}
