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\title{Lois de probabilités continues, cours, terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Lois de probabilités continues, cours, classe de terminale S}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Généralités sur les lois de probabilités continues}

\begin{encadrer}{Notation}
 On considère un univers $I$ de la forme $[a;b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$ ou de la forme $[a;+\infty[$ avec $a$ réel. 
On notera :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\int_a^bf (x)dt$ dans le premier cas ;
  \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt$ dans le deuxième cas.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
Avec les notations précédentes :
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle \emphref{densité de probabilité} sur $I$, toute fonction $f$ continue et positive telle que 
$$\int_{I}f(t)dt=1$$
\nouvitem On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $I$ suit une loi de probabilité de densité $f$ sur $I$ si pour tout intervalle $J$ inclus dans I : 
$$P(X\in J)=\int_{J}f(t)dt$$
\end{itemize}
Une telle variable aléatoire est dite continue sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ définie par $f(x)=\frac{1}{4}$ sur $[0 ; 4]$.\\
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{loisContinuesImg1.png}
\end{center}
$f$ est continue et positive sur $[0 ; 4]$. $\int_{0}^{4}f(t)dt=\frac{1}{4}\times 4=1$.\\
$f$ est donc la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui vérifie $P(X\leq x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{x}{4}$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité continue de densité $f$ sur $I$.
\begin{itemize}
 \nouvitem $P(X\in I)=1$ ;
\nouvitem Pour tout réel $x$, $P(X=x)=\int_{x}^{x}f(t)dt=0$ ;
\nouvitem $P(X\in[a;b])=P(X\in]a;b])=P(X\in[a;b[)=P(X\in]a;b[)$ et $P(X\leq a))=P(X<a)$ pour tous les réels $a$ et $b$ avec $a<b$.
\end{itemize}

\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Notation}
 On note $P(a\leq X\leq b)=P(X\in [a;b])$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{espérance mathématique} d'une variable aléatoire continue $X$ de densité de probabilité $f$ définie sur un intervalle $J$ le réel noté $E(X)$ défini par $$E(X)=\int_{J}tf(t)dt$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour la variable aléatoire $X$ de l'exemple précédent, on a $E(X)=\int_{0}^{4}\frac{t}{4}dt=\frac{1}{2}\times 1 \times 4=2$.
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{loisContinuesImg2.png}
\end{center}
\end{sanscadre}


\section{Loi uniforme}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $[a;b]$ un intervalle avec $a$ et $b$ réels. On appelle \emphref{loi uniforme} sur $[a;b]$ , la loi de probabilité dont la densité $f$ est :
$$f(x)=\frac{1}{b-a}$$ pour tout réel $x\in[a;b]$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 On a $f\geq 0$ et on vérifie que $\int_{a}^{b}f(t)dt=1$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$. ALors l'espérance $E(X)$ de $X$ est :
$$E(X)=\int_{a}^{b}tf(t)dt=\frac{a+b}{2}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 La fonction \texttt{Alea()} du tableur donne des valeurs suivants la loi uniforme sur $[0;1]$.
\end{sanscadre}


\newpage


\section{Loi exponentielle}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
 Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On appelle \emphref{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$ la loi de probabilité dont la densité $f$ est définie par :
$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$
pour tout réel $t\in [0;+\infty[$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 On a $f\geq 0$ et $\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}f(t)dt=1$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une loi de probabilité suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tout réel $b$, 
\begin{itemize}
\nouvitem $P(X\leq b)=P(X<b)=1-e^{-\lambda b}$ ;
\nouvitem $P(X \geq b)=P(X>b)=e^{-\lambda b}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P(X\leq b)=P(0\leq X\leq b)=\int_{0}^{b}\lambda e^{-\lambda t}dt=\lambda[\frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda t}]_{0}^{b}=\frac{-\lambda}{\lambda}(e^{-\lambda b}-e^{0})=1-e^{-\lambda b}$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tous les réels positifs $t$ et $h$ :
$$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\frac{P((X\geq t+h)\cap (X\geq t))}{P(x\geq t)}=
\frac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq h)}=\frac{1-P(X< t+h)}{1-P(X<t)}$.\\
D'où $P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\frac{1-(1-e^{-\lambda (t+h)})}{1-(1-e^{-\lambda t})}=\frac{e^{-\lambda (t+h)}}{e^{-\lambda t}}=\frac{e^{-\lambda t}e^{-\lambda h}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda h}=1-P(X<h)=P(X\geq h)$
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $$E(X)=\frac{1}{\lambda}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
Soit $g$ la fonction définie par $g(t)=\lambda te^{-\lambda t}$ pour tout $t\geq 0$.\\
On cherche une primitive $G$ de $g$ de la forme $G(t)=(at+b)e^{-\lambda t}$.\\
On a $G'(t)=ae^{-\lambda t}-(at+b)\lambda e^{-\lambda t}=(a-\lambda b-at)e^{-\lambda t}$.\\
$G'(t)=g(t)$ pour $a-\lambda b=0$ et $-a=\lambda$\\
c'est à dire $a=-\lambda$ et $b=\frac{-1}{\lambda}$\\
d'où $G(t)=(-t-\frac{1}{\lambda})e^{-\lambda t}$.\\
On a donc $\int_{0}^{b}g(t)dt=G(b)-G(0)$.\\
Or $G(0)=-\frac{1}{\lambda}$ et $G(b)=-be^{-\lambda b}-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda b}$.\\
Comme $\lim_{b\rightarrow +\infty}be^{-\lambda b}=0$ et $\lim_{b\rightarrow +\infty}{e^{-\lambda b}}=0$ on a donc $\lim_{b\rightarrow +\infty}G(b)-G(0)=\frac{1}{\lambda}$
\end{sanscadre}

\end{document}
