<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

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\title{Lois normales, cours,  terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Lois normales, cours, classe de terminale S}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Lois normales, cours, terminale S}}
\end{center}


\section{Variables centrées et réduites}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=m$, de variance $V(X)$ et d'écart type $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem La variable aléatoire $X-m$ a une espérance égale à ...... : elle est dite .................. ;
\nouvitem la variable aléatoire $Z=\frac{X-m}{\sigma}$ a une espérance égale à ......... et un écart type égal à ..... : elle est dite ................... et ................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $E(X-m)=..........$ par linéarité de l'espérance mathématique\\
D'où $E(X-m)=...........$. En outre, $E(\frac{X-m}{\sigma})=.................$ .................\\
Par ailleurs, $V(X-m)=........$ et $V(\frac{X-m}{\sigma})=.................$ .................. .
\end{sanscadre}

 \begin{encadrer}{Propriété}
  Soient $n$ un entier naturel et $p$ un réel de $[0;1]$.Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. Alors la variable aléatoire $Z_n$ définie par $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ a pour espérance ...... et pour écart type ...... .\\
La variable aléatoire $Z_n$ est donc la variable ............ et ............. associée à la variable $X_n$.
 \end{encadrer}

\begin{sanscadre}{preuve}
On a $X_n\sim \mathcal{B}(n;p)$ donc on sait que $E(X_n)=..........$ et $\sigma (X_n)=.................$.\\
$E(Z_n)=E(\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}})=\frac{E(X_n)-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ par linéarité de l'espérance mathématique.\\ 
 $E(Z_n)=\frac{np-np}{\sqrt{np(1-p)}}=........$.\\
En outre, $V(Z_n)=\frac{1}{np(1-p)}V(X_n-np)$ car $V(aX)=$.......\\
Et $V(Z_n)=\frac{1}{np(1-p)}V(X_n)$ car $V(X+b)=$......\\ 
D'où $V(Z_n)=\frac{1}{np(1-p)}{np(1-p)}=......$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Loi normale centrée et réduite}

\begin{encadrer}{Théorème de De Moivre-Laplace}
 On considère une suite de variables aléatoires $(X_n)$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. Soit $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$. Alors pour tous les réels $a$ et $b$ tels que $a&lt;b$, on a :
 $$\lim_{n\rightarrow+\infty}P(a\leq Z_n\leq b)=.........................................$$
c'est à dire que lorsque $n$ devient \og{}grand\fg{} $Z_n$ suit approximativement une loi de densité
$$ ............................ .$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 admis
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
 Une variable aléatoire $X$ suit la loi \emphref{normale centrée réduite} notée $\mathcal{N}(0;1)$ si sa densité $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=...............................$ c'est à dire si pour tout réel $x$ on a :
$$P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}........................dx$$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{loinormalefig1.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriétés}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ ;
  \nouvitem l'aire totale sous la courbe de $f$ est égale à ...... ;
  \nouvitem $f$ est paire c'est à dire sa courbe représentative est ................ .................... ................. ................... . ;
  \nouvitem $P(X\leq 0)=$..... c'est à dire que l'aire sous la courbe de $[0;+\infty [$ est ............ ;
  \nouvitem Pour tout réel $x$, $P(X\leq -x)=............$.
  \nouvitem Pour tout réel $x$ positif, $P(-x\leq X\leq x)=............$.
 \end{itemize}

\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $X\sim \mathcal{N}(0;1)$ alors $E(X)=.....$ et $\sigma(X)=.....$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admis
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Utilisation de la calculatrice}
 Pour calculer $P(a\leq X\leq b)$ :
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas Instrument : Dans le menu \fbox{distrib}, sélectionner \fbox{NormalFrép} puis taper \fbox{$a$}\fbox{,}\fbox{$b$}\fbox{,}\fbox{$\mu$}\fbox{,}\fbox{$\sigma$}\fbox{)}
\nouvitem Sur Casio : Dans le menu \fbox{STAT} choisir \fbox{DIST} puis \fbox{NORM} et \fbox{ncd} puis compléter avec les paramètres $a$, $b$, $\mu$ et $\sigma$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $X\sim\mathcal{N}(0;1)$.
\begin{itemize}
\nouvitem Calcul de $P(X\geq 1,5)$ : les calculatrices ne permettent de calculer que $P(a\leq X\leq b)$.\\
On peut contourner ce problème de deux manières :
\begin{itemize}
\item On peut remarquer que  $P(X\geq 1,5)=1-P(X\leq 1,5)$ (événement contraire)\\
puis que $P(X\geq 1,5)=1-(P(X\leq 0)+P(0\leq X\leq 1,5))$ en utilisant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées\\
donc $P(X\geq 1,5)=1-0,5-P(0\leq X\leq 1,5)\approx 0,0668$.
\item On entre une valeur \og{}très grande\fg{} de $b$ : $P(1,5\leq X\leq 1000)\approx 0,0668$
\end{itemize}
\nouvitem Calcul de $P(X&lt;-1,5)$ :\\
on peut remarquer que $P(X&lt;-1,5)=P(X&lt;0)-P(-1,5\leq X\leq 0)=0,5-P(-1,5\leq X\leq 0)$ en utilisant la symétrie ce qui permet d'utiliser une calculatrice.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(0;1)$, alors pour tout $\alpha \in ]0;1[$, il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que 
$$P(-u_{\alpha}\leq X\leq u_{\alpha})=............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
 D'après la symétrie de la courbe, on a pour tout réel $x$ positif, $P(-x\leq X\leq x)=............$ .................. .\\
On pose pour tout réel $x$ positif, $H(x)=2\int_{0}^{x}f(t)dt$.\\
$H$ est continue sur $\mathbb{R}$. $H$ est aussi ................ ..................... sur $]0;+\infty[$ car $H'(x)=.....$ pour tout réel $x\geq 0$.\\
On a $\lim_{x\rightarrow +\infty}H(x)=......$ et $H(0)=.....$.\\
Pour tout réel $\alpha\in]0;1[$ on a $1-\alpha\in]0;1[$ et d'après le théorème ....................... ...................., il existe un unique réel $u_\alpha$ strictement positif tel que $H(u_\alpha)=.............$.
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Remarque}
 En particulier on a $u_{0,05}\approx ........$ et $u_{0,01}\approx ............$\\
 Cela signifie que $P(..........\leq X\leq ........)\approx 0,95$ et $P(...........\leq X\leq ............)\approx 0,99$\\
c'est à dire qu'environ 95\% des réalisations se trouvent dans l'intervalle $[......;......]$ et 99\% se trouvent dans l'intervalle $[.......;.......]$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Utilisation de la calculatrice}
Pour calculer $u$ tel que $P(X\leq u)\approx \alpha$ où $\alpha$ est donné.
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas Instrument : Dans le menu \fbox{distrib}, sélectionner \fbox{FracNormale}  puis taper \fbox{$\alpha$}\fbox{,}\fbox{$\mu$}\fbox{,}\fbox{$\sigma$}\fbox{)}
\nouvitem Sur Casio : dans le menu \fbox{STAT} choisir \fbox{DIST} puis \fbox{NORM} et \fbox{InvN} puis compléter \og{}area\fg{} avec $\alpha$ et compléter les paramètres $\mu$ et $\sigma$.
\end{itemize}

\end{sanscadre}
\begin{sanscadre}{Exemple}
$X\sim\mathcal{N}(0;1)$. On recherche $u$ réel tel que $P(-u\leq X\leq u)=0,99$.
\begin{itemize}
\nouvitem On exprime $P(-u\leq X\leq u)$ à l'aide de $P(X\leq u)$ pour pouvoir utiliser une calculatrice (les calculatrices Casio permettent le calcul direct de $u$ avec l'option \og{}tail\fg{} mise à \fbox{CNTR} du menu \fbox{InvN}) :\\
$P(-u\leq X\leq u)=P(X\leq u)-P(X&lt;-u)=P(X\leq u)-(1-P(X\geq -u))$\\
donc $P(-u\leq X\leq u)=P(X\leq u)-1+P(X\geq -u)=P(X\leq u)-1+P(X\leq u)=2P(X\leq u)-1$.
\nouvitem Avec une calculatrice, on cherche $u$ tel que $2P(X\leq u)-1=0,99$ c'est à dire tel que $P(X\leq u)=\frac{1,99}{2}$. On obtient bien $u\approx 2,58$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$}
\begin{encadrer}{Définition}
Soient $\mu$ et $\sigma$ deux réels avec $\sigma&gt;0$. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ si la variable aléatoire $T=\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi ..................... ...................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
La densité de probabilité d'une variable aléatoire qui suit $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ est représentée par une courbe \og{}en cloche\fg{} dont l'axe de symétrie est la droite d'équation $x=\mu$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ suit la loi $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ alors son espérance est ........, sa variance est $\sigma^2$ et son écart type est .......... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)\approx 0,68$
\nouvitem $P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)\approx ......$
\nouvitem $P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma)\approx 0,997$
\end{itemize}
\end{encadrer}




\end{document}
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