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\title{Fonctions trigonométriques, cours,  terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Echantillonnage et estimation, cours, classe de terminale S}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{\'Echantillonnage et estimation, cours, terminale S}}
\end{center}


\section{Distinction entre échantillonnage et estimation}

\begin{encadrer}{Définition}
On considère une population d'individus.
\begin{itemize}
\nouvitem Lorsque l'on connaît ou lorsque l'on fait une hypothèse sur la proportion $p$ d'individus ayant une caractéristique donnée dans une population et que l'on effectue un nombre $n$ de tirages avec remise dans cette population, la fréquence observée appartient avec une certaine probabilité à un intervalle appelé ........................ ................de centre $p$ et de longueur qui diminue lorsque $n$ augmente. On parle alors de situation ................ .................... .
\nouvitem Lorsque l'on ne connaît pas la proportion d'individus ayant une caractéristique donnée, en procédant à un nombre $n$ de tirages avec remise on peut estimer à l'aide de la fréquence $f$ obtenue la proportion $p$ d'individus ayant cette caractéristique. Cette .......................... se fait à l'aide d'un ....................... ............................... dont l'amplitude diminue lorsque le nombre $n$ de tirages augmente.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\section{\'Echantillonnage}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha<1$. Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$, on appelle $u_{\alpha}$ l'unique réel tel que $P(-u_{\alpha}\leq X\leq u_{\alpha})=.........$.\par 
Alors $$\lim_{n\rightarrow+\infty}P(\frac{X_n}{n}\in [p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}])=...........$$ c'est à dire que l'intervalle $I_n=.............$.............................. contient la fréquence $\frac{X_n}{n}$ avec une probabilité qui se rapproche de $...........$ quand $n$ augmente. On dit que c'est un \emphref{intervalle ................... .......................} au seuil $1-\alpha$.\par 
En particulier, $u_{0,05}=1,96$ et $u_{0,01}=2,58$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% est : $$................................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Puisque $X_n\sim\mathcal{B}(n;p)$, on a $E(X_n)=.......$ et $\sigma(X_n)=............$. On pose donc $Z_n=\frac{X_n-.....}{.............}$. On sait d'après le théorème de De Moivre-Laplace que $$\lim_{n\rightarrow+\infty}P(-u_{\alpha}\leq Z_n\leq u_{\alpha})=P(-u_{\alpha}\leq X\leq u_{\alpha})=.................$$ c'est à dire que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}P(-u_{\alpha}\leq \frac{X_n-.......}{............}\leq u_{\alpha})=.............$$ ou encore $$\lim_{n\rightarrow +\infty}P(-u_{\alpha}............\leq X_n-........\leq u_{\alpha}...............)=.............$$ donc $$\lim_{n\rightarrow+\infty}P(.........-u_{\alpha}...........\leq X_n \leq .......+u_{\alpha}.................)=..............$$ d'où $$\lim_{n\rightarrow+\infty}P(p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq \frac{X_n}{n}\leq p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}})=..............$$\\ 
Le cas particulier est obtenu en se rappelant que $u_{0,05}=1,96$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
En pratique, on utilise cette propriété dès que les conditions $n\geq ........$, $np\geq .....$ et $n(1-p)\geq ......$ sont vérifiées.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Estimation}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et $F_n=\frac{X_n}{n}$ où $p$ est la proportion inconnue d'apparition d'un caractère. 
\begin{itemize}
\nouvitem Alors,  L'intervalle .................... ........................ contient pour $n$ assez grand la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
\nouvitem On appelle $f$ la fréquence d'apparition du caractère sur un échantillon de taille $n$. Alors l'intervalle ......................... ......................... est appelé \emphref{intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 0,95}.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Idée de la preuve}
On a vu que $$\lim_{n\rightarrow+\infty}P(p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq F_n\leq p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}})=1-\alpha$$
On pose $f(p)=1,96\sqrt{p(1-p)}$ pour tout $p\in[0;1]$. $f$ est dérivable sur $]0;1[$ et $f'(p)=1,96\frac{-2p+1}{2\sqrt{p(1-p}}$ qui est du signe de $-2p+1$.
D'où 
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|lcccr|}
$p$ & 0 & & $\frac{1}{2}$ & & 1 \\
\hline
$f'(p)$ & & + & 0 & - & \\
\hline
 &  & & 0,98 & & \\
 $f(p)$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\
 & 0 & & & & 0 \\
\end{tabular}
\end{center}
\pdfrowcolors{lightgray}
D'où pour tout $p\in[0;1]$, $0\leq f(p)< 1$ ce qui, lorsque $p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leq F_n\leq p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$ implique :
$$p-\frac{1}{\sqrt{n}}<F_n< p+\frac{1}{\sqrt{n}}$$
D'où $p> F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}$ et $p> F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}$ donc :
$$F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}< p < F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}$$
Par une étude sur les limites on obtient alors l'inégalité voulue.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Remarque}
Un intervalle de confiance au niveau de 95\% a une amplitude de ....................... . L'amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
Un candidat à une élection municipale fait effectuer un sondage. Sur 100 personnes de la ville interrogées, 63 déclarent vouloir voter pour lui.\par 
I=.........................................................\par 
On peut donc estimer que la proportion de personnes dans la ville voulant voter pour lui est comprise dans l'intervalle I=[...................... ; ..................].
\end{sanscadre}



\end{document}
