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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction logarithme népérien, cours, terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Fonction logarithme népérien, cours, terminale S}}
\end{center}

\section{Définition et propriétés algébriques}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{logarithme népérien} et on note \emphref{$\ln$} la fonction qui à tout réel $x$ \emph{strictement positif} associe l'unique réel $y$ tel que $..........$\\
On a donc pour tout $x>0$ et tout $y$ réel, $\ln(x) = y$ si et seulement si $..........$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln(x)}=.....$ ;
\nouvitem pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=...$;
\nouvitem $\ln(1)=....$ et $\ln(e)=....$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (équation fonctionnelle)}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln(ab)=$................. .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $e^{\ln(a)+\ln(b)}=.......$\\
$\ln(a)+\ln(b)$ est donc une solution de l'équation ............... .\\
Or par définition de $\ln$, l'unique solution de cette équation est $\ln(ab)$.\\
D'où $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, 
\begin{itemize}
\nouvitem $\ln(\frac{1}{a})=..........$ ;
\nouvitem $\ln(\frac{a}{b})=...........$ ;
\nouvitem pour tout entier relatif $n$, $\ln (a^n)=............$ ;
\nouvitem $\ln (\sqrt{a})=.................$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem D'une part, $\ln(a\times\frac{1}{a})=................$.

D'autre part, $\ln(a\times\frac{1}{a})=\ln(a)+\ln(\frac{1}{a})$

Donc $\ln(a)+\ln(\frac{1}{a})=.........$.

\nouvitem $\ln(\frac{a}{b})=\ln(a\times\frac{1}{b})=$.................. .................... d'après ce qui précède.
\nouvitem Par récurrence pour $n$ entier naturel.\\
Initialisation : Pour tout $a>0$, $\ln(a^0)=\ln(1)=0$ et $0\ln(a)=0$ d'où $\ln(a^0)=0\ln(a)$.\\
La propriété est donc vraie au rang 0.
Hérédité : On suppose que pour un entier naturel $k$, $\ln(a^k)=k\ln(a)$.\\
Alors $\ln(a^{k+1})=\ln(a^k \times a)=\ln(a^k)\ln(a)$ car $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.\\
Puis $\ln(a^k)\ln(a)=k\ln(a)\ln(a)$ par hypothèse de récurrence.\\
Donc $\ln(a^{k+1})=(k+1)\ln(a)$. La propriété est donc héréditaire.\\
Conclusion : Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $\ln(a^k)=k\ln(a)$.\\
On utilise en plus, le fait que $\ln(a^n)=\ln(\frac{1}{a^{-n}})$ si $n$ est un entier négatif.
\nouvitem $\ln(a)=\ln(\sqrt{a}\times\sqrt{a})=$.................. ............. . D'où le résultat.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $\ln (65536)=...$ 
\nouvitem $\ln (81)=...$
\nouvitem $\ln(81\times 65536)=...$
\nouvitem $\ln (1/10^8)=...$
\end{itemize}
\end{sanscadre} 

\section{\'Etude de la fonction logarithme népérien}


\subsection{Dérivabilité}

\begin{encadrer}{Propriété}
 La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\inf[$ et $$\ln'(x)=................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Dérivabilité admise. Pour montrer la formule on part de $e^{\ln(x)}=x$ pour tout $x>0$.\\
En dérivant on obtient( en tenant compte de la fonction composée de la forme $e^u$), $(\ln(x))'e^{\ln(x)}=1$ donc $(\ln(x))'x=1$ donc $(\ln(x))'=\frac{1}{x}$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction $\ln$ est strictement ....................... sur $]0;+\infty[$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
La dérivée est $x\mapsto ...............$ qui est .............. .
\end{sanscadre}

\newpage

\subsection{\'Egalités et inégalités}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs,
 \begin{itemize}
  \nouvitem $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si ............ ;
  \nouvitem $\ln(a)<\ln(b)$ si et seulement si ............ .
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si .............. ............. c'est à dire ...... .......\\
\nouvitem $\ln(a)<\ln(b)$ si et seulement si .............. ............. c'est à dire ....... .......\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples d'application à la résolution d'équations et d'inéquations}
\begin{itemize}
\nouvitem $e^x=2$ équivaut à ....
\nouvitem Résolution de $\ln(3x+4)=5$\\
On recherche d'abord l'ensemble de définition : $3x+4>0$ si et seulement si ....\\
L'ensemble de définition est donc ...\\
On résout ensuite l'équation dans cet ensemble de définition :\\
$\ln(3x+4)=5$ équivaut à $e^{\ln(3x+4)}=e^5$ c'est à dire à ....\\
...\\
On vérifie que la solution est bien dans l'ensemble de définition : ...\\
Il y a donc une unique solution est donc ....
\nouvitem Résolution de $\ln(3x+4)<5$ :\\
On recherche d'abord l'ensemble de définition : \\
L'ensemble de définition est ...\\
On résout ensuite l'inéquation dans cet ensemble de définition :
$\ln(3x+4)<5$ équivaut à $e^{\ln(3x+4)}<e^5$ c'est à dire à ....\\
...\\
L'ensemble des solutions est l'intersection de l'ensemble de définition et de l'ensemble déterminé par la résolution de l'inéquation :\\
...
\end{itemize}

\end{sanscadre}

\newpage


\subsection{Limites}

\begin{encadrer}{Propriété, limites}
On a $\lim_{x\mapsto+\infty}\ln (x)=$............ et $\lim_{x\mapsto 0^{+}}\ln (x)=$........... .

La droite d'équation ........... est donc une asymptote ..................... à la courbe en 0.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $M$ un réel. Pour tous les réels $x$ tels que $x>e^M$ (il en existe car $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$),la fonction $\ln$ est strictement ..................... sur $]0;+\infty[$ donc $\ln(x)>\ln(e^M)$ d'où $\ln(x)>..........$. La fonction $\ln$ a donc bien pour limite ................. en $+\infty$.\par
\noindent Pour $x>0$, on pose $X=\frac{1}{x}$. Alors $\ln(x)=\ln(\frac{1}{X})=-\ln(X)$. Or $\lim_{x\rightarrow 0,x>0}X=$.............. . Or $\lim_{X\rightarrow +\infty}(-\ln(X))=$........ donc $\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x)=$........... .
\end{sanscadre}




\subsection{Tableau de variation}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & 0 & & $+\infty$\\
\hline
$\ln'(x)$ & ... & ... & \\
\hline
 & ... & & ... \\
$\ln(x)$ & ...  & ... & \\ 
 & ... & & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
 \subsection{Tableau de signe}
 
 \begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
 \hline
 $x$ & 0 & & .... & & $+\infty$ \\
 \hline
 $\ln(x)$ & .... & ... & ... & .... & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}

 

 \subsection{Représentation graphique}
 
 On parle de \emph{croissance logarithmique} pour décrire une telle évolution.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{lncoursTSTGimg1.pdf}
\end{center}


\newpage


\subsection{Dérivation de fonctions composées avec ln}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction composée $\ln(u)$ est définie et dérivable sur $I$ et on a :
$$(\ln(u))' =.....$$
\end{encadrer}


\subsection{Croissances comparées}
\begin{encadrer}{Propriétés : croissances comparées}
$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=........$$
$$\lim_{x\rightarrow 0}x\ln(x)=....$$
et
$$\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{\ln(x)}{x-1}}=.......$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour $x>0$, on pose $X=\ln(x)$ d'où $\frac{\ln(x)}{x}=...........$. Or $\lim_{x\rightarrow +\infty}X=......$ et $\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{X}{e^X}=......$. D'où le résultat.\\
\nouvitem On pose $X=..... $ $\lim_{x\rightarrow 0}x\ln(x)=$..............
\nouvitem On considère pour $x\neq 1$, $\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}$. $\ln$ est dérivable en 1 donc ce taux d'accroissement a une limite qui est le nombre dérivé de $\ln$ en 1, c'est à dire 1.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}
