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\title{Limites de fonctions, cours, terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Limites de fonctions, cours, classe de terminale S}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Limites finies à l'infini}

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;+\infty [$ où $a\in \mathbb{R}$.

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $l$ un réel.
$f$ admet pour limite $l$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si pour tout intervalle contenant $l$, il existe un réel $x_0$ tel que pour tous les réels $x$ supérieurs à $x_0$ (resp. pour tous les réels $x$ inférieurs à $x_0$) , $f(x)$ appartient à cet intervalle.
On note alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l$).

On dit aussi que $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ (resp. tend vers $-\infty$).
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0$\\
Pour tout entier naturel $k&gt;0$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x^k}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^k}=0$\\
Pour tout entier naturel non nul $k$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-k}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x-k}=0$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $l\in \mathbb{R}$ et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère.

On dit que la droite d'équation $y=l$ est \emphref{asymptote horizontale} à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0$ donc la droite d'équation $y=0$ est une asymptote horizontale à l'hyperbole en $+\infty$ et en $-\infty$.
\end{sanscadre}


\section{Limites infinies à l'infini}

\begin{encadrer}{Définition} 
$f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ en $+\infty$) si pour tout intervalle $]M;+\infty[$ (resp. $]-\infty; M]$) où $M$ est un réel, il existe un réel $x_0$ tel que pour tous les réels $x$ supérieurs à $x_0$, $f(x) \in ]M;+\infty[$ (resp. $f(x)\in ]-\infty;M]$).

On note alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ (resp. $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$).

On dit aussi que $f(x)$ tend vers $+\infty$ (resp. tend vers $-\infty$) quand $x$ tend vers $+\infty$ .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On définit de même les limites en $-\infty$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout entier naturel $k$ non nul,
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x \rightarrow +\infty}x^k=+\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+\infty$
\end{itemize}
\end{encadrer}


\section{Limites en un réel}

On considère dans ce paragraphe une fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f$ et $a\in D_f$ où $a$ est l'extrémité d'un intervalle de $D_f$.

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ admet pour limite  à droite $l\in\mathbb{R}$ (resp. $+\infty$) en $a$ si
pour tout intervalle $]u;v[$ contenant $l$ il existe un réel $x_0&gt;a$ tel que pour tout $x\in ]a;x_0[$ on a $f(x)\in ]u;v[$ (resp. si pour tout intervalle $]u;+\infty[$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x\in ]a;x_0[$ on a $f(x)\in ]u;+\infty[$).

On note alors $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{&gt;}}a}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{&gt;}}a}f(x)=+\infty$).

\nouvitem $f$ admet pour limite à gauche $l\in \mathbb{R}$ (resp. $+\infty$) en $a$ si pour tout intervalle $]u;v[$ contenant $l$, il existe un réel $x_0&lt;a$ tel que pour tout $x\in ]x_0;a[$ on a $f(x)\in ]u;v[$ (resp. si pour tout intervalle $]u;+\infty[$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x\in ]x_0;a[$ on a $f(x)\in ]u;+\infty[$).

On note alors $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{&lt;}}a}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{&lt;}}a}f(x)=+\infty$).

\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
$\limd{x}{0} \frac{1}{x}=+\infty$ et $\limg{x}{0} \frac{1}{x}=-\infty$.
\end{sanscadresansflush}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel, $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère. On dit que la droite d'équation $x=a$ est \emphref{asymptote verticale} à $\mathcal{C}$ si la limite à droite ou la limite à gauche de $f$ en $a$ est $+\infty$ ou $-\infty$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction telle que $f=\frac{g}{h}$ où $g$ et $h$ sont deux autres fonctions. Si $g$ tend vers une limite non nulle et $h$ tend vers $0$ en un réel $a$, alors $f$ tend vers l'infini, le signe restant à déterminer.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem La courbe de la fonction $\ln$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.
\nouvitem $\limd{x}{1} x+1=2$ et $\limd{x}{1} x-1=0^{+}$.\\
$\limg{x}{1} x+1=2$ et $\limg{x}{1} x-1=0^{-}$.\\
donc
$\limd{x}{1} \frac{x+1}{x-1}=+\infty$ et $\limg{x}{1} \frac{x+1}{x-1}=-\infty$\\
D'où la droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Opérations sur les limites}

\subsection{Addition, multiplication, quotient}
Dans ce qui suit, $a$ est un réel ou $a=+\infty$ ou $a=-\infty$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ &amp; $l\in\mathbb{R}$ &amp; $l\in \mathbb{R}$ &amp; $l\in \mathbb{R}$ &amp; $+\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $+\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ &amp; $l'\in\mathbb{R}$ &amp; $+\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $+\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $-\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}(f+g)(x)$ &amp; $l+l'$ &amp; $+\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $+\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; indéterminée \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ &amp; $l\in\mathbb{R}$ &amp; $l\in \mathbb{R}*$ &amp; $+\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $0$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ &amp; $l'\in\mathbb{R}$ &amp; $\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}(fg)(x)$ &amp; $ll'$ &amp; $\infty$ &amp; $-\infty$ &amp; $+\infty$ &amp; indéterminée \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ &amp; $l\in\mathbb{R}$ &amp; $+\infty$ ou $-\infty$ &amp; $l\in\mathbb{R}$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ &amp; $l'\in\mathbb{R*}$ &amp; $+\infty$ ou $-\infty$ &amp; $+\infty$ ou $-\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f}{g}(x)$ &amp; $\frac{l}{l'}$ &amp; indéterminée &amp; 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Limites de fonctions composées}

\begin{encadrer}{Théorème}
$a$, $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$. Soient $f$ et $g$ des fonctions. Si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ et $\lim_{X \rightarrow b}g(X)=c$ alors $\lim_{x \rightarrow a} g(f(x))=c$. 
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $-\sqrt{3x^2+4}$. On a $\lim_{x\mapsto+\infty}3x^2+4=+\infty$ et $\lim_{X\mapsto+\infty}-\sqrt{X}=-\infty$ donc $\lim_{x\mapsto+\infty}h(x)=-\infty$.
\end{sanscadre}




\section{Comparaison et limites}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ et $g$ sont deux fonctions telles que pour $x$ assez grand, $f(x)\geq g(x)$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$ alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Si pour $x$ assez grand, $f(x)\leq g(x)$ et si $\lim_{x \rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$ alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $[A;+\infty[$ avec $A$ un nombre réel. Puisque $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$, il existe $x_O$ tel que pour tout $x\geq x_0$, $g(x)\in [A;+\infty[$.\\
Comme, pour $x$ assez grand $f(x)\geq g(x)$, il existe un réel $x_1$ tel que pour tout $x\geq  x_1$, $f(x)\geq g(x)$. 0n en déduit que pour $x\geq max(x_0;x_1),\,f(x)\in[A;+\infty[$ ce qui justifie que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Théorème des gendarmes}
 Si $f$, $g$ et $h$ sont des fonctions et $l$ est un nombre réel tel que :
\begin{itemize}
 \nouvitem pour $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ ;
  \nouvitem $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=l$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=l$.
\end{itemize}
Alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$.
\end{encadrer}

\section{Cas des fonctions exponentielles et logarithme népérien}

\subsection{Exponentielle}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\odot$}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $h$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $h(x)=e^x-x$.\\
On a pour tout $x&gt;0$, $h'(x)=e^x-1$.\\
$h'(x)&gt;0$ si et seulement si $e^x-1&gt;0$ c'est à dire $e^x&gt;1$ donc $x&gt;0$.\\
On en déduit que $h$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$. Comme par ailleurs $h(0)=0$, on a donc pour tout $x&gt;0$, $h(x)\geq 0$ c'est à dire $e^x\geq x$.\\
Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$, par comparaison on obtient $\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty$.
\nouvitem On pose $X=-x$. On a $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=\lim_{X\rightarrow +\infty}e^{-X}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{1}{e^X}$. D'après le cas précédent, $\lim_{X\rightarrow +\infty}e^X=+\infty$ donc $\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{1}{e^X}=0$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (croissances comparées)}
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{x}=0$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Pour tout entier naturel $k$ non nul, $\lim_{x \rightarrow  +\infty}\frac{e^x}{x^k}=+\infty$ et  $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^ke^{x}=0$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuves}
admises
\end{sanscadre}

\subsection{Fonction logarithme népérien}


\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)=-\infty$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuves}
\begin{itemize}
\nouvitem On pose $x=e^X$ pour $x&gt;0$.\\
On a alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}ln(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\ln(e^X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}X=+\infty$.
\nouvitem On pose $x=\frac{1}{X}$ pour $x\neq 0$\\
On a alors $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\ln(\frac{1}{x})=\lim_{X\rightarrow +\infty}-\ln(X)=-\infty$.
\nouvitem On pose $X=\ln(x)$ ce qui équivaut à $x=\exp(X)$.\\
On a alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{X}{e^X}=\lim{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\frac{e^X}{X}}=0$.
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}=f'(0)=1$ avec $f(x)=\ln(1+x)$ et $f'(x)=\frac{1}{1+x}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
 
\end{document}
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