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\title{Fonctions exponentielles, cours, terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction exponentielle de base $e$, cours, classe de terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Définitions et propriétés algébriques}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction définie, dérivable sur $\mathbb{R}$, vérifiant $f'=f$ et telle que $f(0)=1$. Alors $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x)f(-x)$. $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f(-x))=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$.\\
On en déduit que $h$ est constante. Or $h(0)=f(0)f(-0)=1$ donc pour tout réel $x$, $f(x)f(-x)=1$ ce qui assure que $f$ ne s'annule pas.\par
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On appelle \emphref{fonction exponentielle de base $e$} l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
L'existence est admise. Montrons l'unicité d'une telle fonction.\par
Tout d'abord, d'après la propriété précédente, une telle fonction ne s'annule pas.\\
Montrons maintenant l'unicité. Soient donc $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $f'=f$, $g'=g$, $f(0)=1$ et $g(0)=1$.\\
On vient de montrer que $g$ ne s'annule pas, on peut donc considérer la fonction $q$ définie sur $\mathbb{R}$ par $q=\frac{f}{g}$.$q$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $q'(x)=\frac{f'g-g'f}{g^2}=\frac{fg-gf}{g^2}=0$.\\
Par conséquent, la fonction $q$ est constante sur $\mathbb{R}$. Or $q(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{1}{1}$ d'où $\frac{f}{g}=1$ et $f=g$, ce qui achève la démonstration.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Notation}
On note $e$ l'image $\exp(1)$ de 1 par  la fonction exponentielle. $e\approx 2,71$.\\
Pour tout $x$ réel, $\exp(x)$ est noté $e^x$ et on lit \og{} exponentielle $x$\fg{} ou \og{} $e$ exposant $x$\fg{}.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ réel, $$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$$
c'est à dire
$$e^{a+b}=e^ae^b$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $b$ un réel. On a vu plus haut que $\exp$ ne s'annule pas. Pour tout réel $b$, on peut donc définir la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{f(b+x)}{f(x)}$.\\
La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=\frac{f'(a+x)f(x)-f(a+x)f'(x)}{f(x)^2}$. Or $f'=f$ donc $h'(x)=\frac{f(a+x)f(x)-f(a+x)f(x)}{f(x)^2}=0$. La fonction $h$ est donc une constante.\\
Or $h(0)=\frac{f(a+0)}{f(0)}=\frac{f(a)}{1}=f(a)$. D'où pour tout réel $x$, $h(x)=f(a)$, c'est  à dire $\frac{f(a+x)}{f(x)}=f(a)$ et $f(a+x)=f(a)f(x)$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Conséquences}
pour tout entier relatif $n$ et pour tous les réels $x$ et $x'$ on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{1}{\exp(x)}=\exp(-x)$ c'est à dire $\frac{1}{e^x}=e^{-x}$ ;
\nouvitem $\frac{\exp(x)}{\exp(x')}=\exp(x-x')$ c'est à dire $\frac{e^x}{e^{x'}}=e^{x-x'}$ ;
\nouvitem $(\exp(x))^n=\exp(nx)$ c'est à dire $(e^x)^n=e^{xn}$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les réels $x$, $\exp(x)\exp(-x)=\exp(x-x)=\exp(0)=1$ donc $\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}$.
\nouvitem Pour tous les réels $x$ et $x'$, $\frac{\exp(x)}{\exp(x')}=\exp(x)\times\frac{1}{\exp(x')}$ et on utilise le résultat précédent.
\nouvitem Les cas $n=0$ et $n=1$ sont évidents. Le cas $n=2$ correspond au premier point de la propriété. Si pour un rang $n$ entier supérieur à 2, $\exp(x)^n=\exp(nx)$, alors au rang $n+1$, on obtient $\exp(x)^{n+1}=\exp(x)^n\exp(x)$ d'après le premier point de la propriété.\\
Par l'hypothèse de récurrence au rang $n$, on peut dire que $\exp(x)^n=\exp(nx)$ donc $\exp(x)^{n+1}=\exp(nx)\exp(x)=\exp((n+1)x)$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$. Par conséquent, par récurrence, la propriété est vraie pour tous les rangs $n$ positifs. Si $n<0$, on utilise la première propriété.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{\'Etude de la fonction}

\subsection{Dérivabilité}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction exponentielle $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel $\exp '(x)=\exp (x)$.
\nouvitem la fonction exponentielle $\exp$ est strictement positive.
\nouvitem la fonction exponentielle $\exp$ est strictement croissante sur $]-\infty;+\infty[$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Le premier point n'est qu'une reécriture de la définition.\\
Pour tous les réels $x$ et $y$, $f(x+y)=f(x)f(y)$ d'où pour $x=y$, $f(2x)=f(x)^2$ ce qui assure que $f(x)$ est strictement positif.\\
Comme $f'=f$, on en déduit que $f'>0$ c'est à dire $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;+\infty[$.
\end{sanscadre}



\subsection{Tableau de variations}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & 0 & & 1 & & $+\infty$ \\
\hline
    &           & &   & &   & $\nearrow$ & \\
    &           & &   & & $e$& \\
    &           & &   &$\nearrow$& & \\
    &           & & 1 & &    &           & \\
    &          0 &$\nearrow$& & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Courbe représentative}
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{fonctionsexponentiellescoursimgcourbe.png}
\end{center}

\subsection{Tableau de signe}

\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|l|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & & & & & $+\infty$ \\
\hline
 $\exp(x)$   &           & &   & + &   & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les réels $x$ et $y$ :
$$e^x=e^y \Leftrightarrow x=y$$
et
$$e^x<e^y \Leftrightarrow x<y$$
\end{encadrer}


\newpage


\section{Limites}

\begin{encadrer}{Propriété}
$\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Montrons d'abord que pour tout réel $x$, $\exp(x)\leq x$.\\
Pour cela, soit $f$ la fonction définie par $f(x)=exp(x)-x$ pour tout réel $x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\exp(x)-1$.\\
$f'(x)\geq 0$ si et seulement si $\exp(x)-1\geq 0$ c'est à dire $\exp(x)\geq 1 $. Comme $\exp(0)=1$ et $\exp$ est croissante sur $\mathbb{R}$, on déduit que pour tout $x\geq 0$, $\exp(x)\geq 1$ et $f'(x)\geq 0$. Par conséquent, $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ et puisque $f(0)=1$, on a pour tout $x\geq 0$, $f(x)\geq 1$ donc $\exp(x)-x\geq 1$ et $\exp(x)\geq x+1$.\\
Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}x+1=+\infty$, par comparaison on obtient $\lim_{x\rightarrow +\infty}=+\infty$.
\nouvitem On utilise l'égalité $\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}$. $\lim_{x\rightarrow -\infty} (-x)=+\infty$ et donc $\lim_{x\rightarrow -\infty} \exp(-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{\exp(x)}$. D'après ce qui précède $\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\exp(x)}=0$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
 $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$$
que l'on traduit en disant que \og{}la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction $x\mapsto x$ en $+\infty$.
$$\lim_{x\rightarrow -\infty}xe^x=0$$
que l'on traduit en disant que \og{}la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction $x\mapsto x$ en $-\infty$.
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2$. On a $f'(x)=e^x-x$ et $f''(x)=e^x-1$.\\
On a vu précédemment (dans la démonstration de $\lim{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty$) que pour tout réel $x\geq 0$, $e^x\geq1$ donc $f''(x)\geq 0$. D'où $f'$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Comme $f'(0)=1$, on déduit que $f'$ est strictement positive sur $[0;+\infty[$ et que $f$ est strictement croissante. Par suite, de $f(0)=1$ on déduit que pour tout réel $x$, $f(x)>0$ c'est à dire $e^x>\frac{1}{2}x^2$ et $\frac{e^x}{x}>\frac{1}{2}x$.
De $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2}x=+\infty$ on déduit le résultat voulu.
\nouvitem On remarque que $\lim_{x\rightarrow -\infty}xe^x=\lim_{x\rightarrow +\infty}{(-x)e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x}{e^x}=0$.
\nouvitem $\exp$ est dérivable en 0 et le nombre dérivé en 0 est 1 donc $\lim_{x\rightarrow 0}{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}{e^x-1}{x}=1$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}




\newpage



\section{\'Etude de fonctions composées avec la fonction exponentielle}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et $$(e^u)'=u'e^u$$ ;
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Cas particulier}
La fonction $f:x\mapsto e^{ax+b}$ où $a$ est un réel fixé est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=ae^{ax+b}$ pour tout $x$ réel.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $a<0$, alors la fonction $f$ définie ci-dessus est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
\nouvitem si $a>0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\nouvitem si $a<0$, alors $\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{ax}=0$ et $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{ax}=+\infty$ ;
\nouvitem si $a>0$, alors $\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{ax}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{ax}=0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{fonctionscomposeesexponentiellesimg.png}
\end{center}


 \end{document}
