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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Produit scalaire dans l'espace et applications, cours,  terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, classe de terminale S}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale S}}
\end{center}



\section{Produit scalaire dans l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$.
Soit $\mathcal{P}$ un plan contenant les trois points. Alors le \emphref{produit scalaire} noté $\vec{u}\cdot \vec{v}$ des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et le produit scalaire ........... .......... dans le plan $(\mathcal{P})$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, $\vec{AB}$.$\vec{CH}$............. car $\vec{CH}=\vec{BE}$. 
Donc $\vec{AB}$.$\vec{CH}$ .............. ............... par projection orthogonale de E sur $(AB)$ dans le plan $(ABE)$.
\end{sanscadre}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{espacecubeimg.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls et soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$, $\vec{v}=\vec{AC}$. 
\begin{itemize}
 \nouvitem Alors dans un plan $\mathcal{P}$ contenant les trois points :
$$\vec{u}.\vec{v}=.........$$
\nouvitem Soit $H$ le \emphref{projeté orthogonal} de $C$ sur la droite $(AB)$ c'est  à  dire le point d'intersection de la droite $(AB)$ avec la droite orthogonale à  $(AB)$ passant par C, alors : 
$$\vec{u}.\vec{v}=..........$$
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg2.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}



\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormal de l'espace (c'est à  dire que les axes sont deux à  deux perpendiculaires et les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ont une norme égale à  1). Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $(x;y;z)$ et $(x';y';z')$ alors :
$$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs et $k$ un réel.
\begin{itemize}
 \nouvitem $\vec{u}.\vec{v}=......$ ;
\nouvitem $(k\vec{u}).\vec{v}=......$ ;
\nouvitem $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=.............$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé de l'espace .
\begin{itemize}
\nouvitem Le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(a;b;c)$ a pour norme $\| \vec{u} \|=$................... ;
\nouvitem Soient $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points. La distance $AB$ de $A$ à  $B$ est donnée par :
$$AB=...................$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\section{Orthogonalité dans l'espace}

\subsection{Vecteurs orthogonaux}

\begin{encadrer}{Définition}
 Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace sont dits \emphref{orthogonaux} si $\vec{u}$.... ou $\vec{v}$.... ou si les droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont ................... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si ......................... .
\end{encadrer}

\subsection{Orthogonalité entre une droite et un plan}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Une droite $(d)$ est orthogonale à  toutes les droites d'un plan $(\mathcal{P})$ si et seulement si elle est orthogonale .............. ............. ............... ............... ................ . On dit alors qu'elle est orthogonale au plan $(\mathcal{P})$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\odot$}
Il est évident que si la droite $(d)$ est orthogonale à  toutes les droites du plan $(\mathcal{P})$, alors elle est en particulier orthogonale aux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ du plan.\par 
Montrons la réciproque. Soient $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ des vecteurs directeurs de $(d_1)$ et $(d_2)$ respectivement. Soi $\vec{u}$ un vecteur directeur de $(d)$. Alors pour toute droite $(d_3)$ du plan, soit $\vec{w}$ un vecteur directeur de $(d_3)$. $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ sont des vecteurs directeurs du plan $(\mathcal{P})$ et $\vec{w}$ leur est coplanaire donc il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}$......................... Par ailleurs, $\vec{u}.\vec{u_1}=$......... et $\vec{u}.\vec{u_2}$......... car ............... ................... ....................... .
Donc $\vec{u}.\vec{w}$.................... ........................ .................... donc $(d)$ est orthogonale à  $(d_3)$. Ceci étant valable pour toute droite $(d_3)$ du plan, la propriété est bien vraie.
\end{sanscadre}


\subsection{Vecteur normal à  un plan}

\begin{encadrer}{Définition}
 Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à  un plan $(\mathcal{P})$ lorsque ce vecteur est un vecteur directeur d'une droite ............... ...................... ................. .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soient $A(1;1;4)$, $B(-1;1;2)$ et $C(2;2;8)$ trois points et $\vec{u}(1;3;-1)$ un vecteur.\\
$\vec{AB}$ a pour coordonnées .................. et $\vec{AC}$ a pour coordonnées ................. . 
Ils ne sont de manière évidente par colinéaires et définissent donc un plan $(ABC)$.
\'Etudions si le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(ABC)$.\\
D'une part $\vec{u}.\vec{AB}$.............. ................. ............... donc $\vec{u}$ et $\vec{AB}$ sont orthogonaux.\\
D'autre part, $\vec{u}.\vec{AC}$............... ................. ............... donc $\vec{u}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux.\\
Par conséquent, $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc orthogonal à tout vecteur du plan, c'est à  dire qu'il est normal au plan.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $(\mathcal{P})$ un plan, A un point de $\mathcal{P}$ et $\vec{n}$ un vecteur normal au plan $(\mathcal{P})$.Le plan est l'ensemble des points M tels que ........................ .
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg3.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ des plans et $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ des vecteurs normaux à  ces deux plans respectivement. $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ sont dits \emphref{perpendiculaires} si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont .................. .
\end{encadrer}


\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg4.png}
\end{center}


\section{Application à  la géométrie analytique}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormal. 
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(\mathcal{P})$ un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$. Un point $M(x;y;z)$ appartient à  $(\mathcal{P})$ si et seulement si ...................... avec $d$ un réel fixé.
Cette équation est appelée \emphref{équation cartésienne} du plan $(\mathcal{D})$.
\nouvitem Réciproquement, soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels avec $(a;b;c)\neq (0;0;0)$. Alors l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ tels que ................... est un plan de vecteur normal le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées ................. .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\odot$}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point du plan $(\mathcal{P})$.\par 
$M(x;y;z)\in(\mathcal{P})\Leftrightarrow \vec{AM}.\vec{n}=0$ équivaut à  ................. ............... ................... ..................... ....................... .................. ce qui montre que la relation $ax+by+cz+d=0$ caractérise le plan $(\mathcal{P})$.
\nouvitem On peut supposer $a\neq 0$, la démonstration serait identique dans les cas $b\neq$ ou $c\neq$. Le point $A(\frac{-d}{a};0;0)$ est un point de l'ensemble $\mathcal{E}$ cherché. Soit $M(x;y;z)$  un autre point de $\mathcal{E}$. Alors ........................ et $-\frac{d}{a}a+0b+0c+d=$.... donnent $a(x+\frac{d}{a})+by+cz=$..... ce qui équivaut à $\vec{AM}.\vec{n}=$..... avec $\vec{n}$ de coordonnées $(a;b;c)$. $\mathcal{E}$ est donc bien le plan passant par $A$ et de vecteur normal ..........
\end{itemize}

\end{sanscadre}




\end{document}
