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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Géométrie vectorielle et repérage dans l'espace, cours, Terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\small Géométrie vectorielle et repérage dans l'espace, terminale S}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
 {\LARGE \textbf{Géométrie vectorielle et repérage dans l'espace, terminale S}}
\end{center}


\section{Vecteurs de l'espace}

\subsection{Extension de la notion de vecteur à l'espace}

\pdfrowcolors{}

\begin{encadrer}{Définition}
\'A tout couple de points $(A;B)$ de l'espace, on associe le vecteur $\vec{AB}$ tel que si $A$ et $B$ ne sont pas confondus, dans un plan qui contient $A$ et $B$, $\vec{AB}$ est le vecteur de la translation  qui transforme $A$ en $B$.
Si $A$ et $B$ sont confondus, le vecteur $\vec{AA}$ est le . . . . . . . . . . . . noté . . . . . . . ..
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{espacecoursimg2.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout point $A$ de l'espace et pour tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique point $B$ tel que . . . . . . . . . . .
\nouvitem $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points de l'espace. $\vec{AB}=\vec{CD}$ si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
\nouvitem Les règles de calculs sur les vecteurs du plan restent valables dans l'espace.
\nouvitem La notion de colinéarité reste valable dans dans l'espace c'est à dire que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère un cube $ABCDEFG$ et les points I, J et K tels que I et le centre de la face BCGF, K est le milieu de [HG] et $\?vec{BJ}=\frac{1}{4}\vec{BA}$. On va montrer que $(AK)$ et $(IJ)$ sont parallèles.

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{8cm}
On a \par 
$\vec{AK}=...$\par 
=...\par 
=...\par 
=...\par 
d'une part et \par 
$\vec{JI}=...$\par
 =....\par 
 d'autre part. \par 
 Donc $\vec{AK}=....\vec{JI}$ et les vecteurs $\vec{AK}$ et $\vec{JI}$ sont . . . . . . . . . . et les droites $(AK)$ et $(IJ)$ sont . . . . .  . . . . ..
 \end{minipage}
 &
 \begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecubeexemple.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels qu'il existe un réel $k$ vérifiant . . . . . . . . . . . . . . ..
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg1.png}
\end{center}

\subsection{Coplanarité}

\begin{encadrer}{Propriété}
$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace non alignés. Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ tels qu'il existe $a$ et $b$ réels vérifiant . .  . . . . . . .  . . . . . . . . . ..

On dit alors que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ . . . . . . . . . . le plan ou qu'ils sont des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du plan $(ABC)$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg4.png}
\end{center}



\begin{encadrer}{Définition}
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont \emphref{coplanaires} si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ de l'espace qui vérifient $\vec{u}=\vec{AB}$, $\vec{v}=\vec{AC}$ et $\vec{w}=\vec{AD}$ . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg3.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ou si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont . . . . . . . . . . . . .. 
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Si deux plans sont dirigés par un même couple de vecteurs non colinéaires, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[EF]$. On va montrer que $\vec{GC}$, $\vec{FE}$ et $\vec{AI}$ sont coplanaires :
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecubeimg2.png}
\end{center}
On a 
\begin{align*}
\vec{AI}&=...\\
 &=...\\
 &=...\vec{GC}+ ....\vec{FE}\\
 \end{align*}
 donc les vecteurs sont coplanaires.
\end{sanscadre}



\section{Géométrie analytique dans l'espace}

\subsection{Repérage dans l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine $O$ et de trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ non coplanaires. On note alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ce repère.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Pour tout point $M$, il existe un unique triplet $(x;y;z)$ appelé coordonnées du point $M$ de réels tels que $\vec{OM}=$. . . . . . . . . . . . .  . . . ... 

$x$ est . . . . . . . . . . ., $y$ est . . . . . .  . . . . .  et $z$ est la . . . . . . . . . . . du point $M$ dans ce repère.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg5.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace, $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points.

Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées . . . . . . . . . 
\nouvitem le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées . . . . . . 
\nouvitem Le centre de gravité du triangle $ABC$ a pour coordonnées . . . . . . . . . . .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage 

\subsection{\'Equations paramétriques dans l'espace}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Soit $d$ une droite de l'espace passant par un point $A$ de coordonnées $(x_A;y_A;z_A)$ et admettant le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(a;b;c)$ pour vecteur directeur.\\
Un point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ appartient à la droite $d$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que . . . . . . . . . . . . . c'est  à dire si et seulement si 
$$...$$
$$...$$
$$...$$
Ce système est appelé . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . de la droite $d$ et $t$ est appelé . . . . . . . . . . . . . de cette représentation.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $A$ le point de coordonnées $(1;-4;3)$ et $\vec{u}$ le vecteur de coordonnées $(5;1;-2)$. Alors la droite $(d)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ admet pour représentation paramétrique :
$$...$$
$$...$$
$$...$$
c'est  à dire qu'un point $M(x;y;z)$ appartient à cette droite si et seulement si ses coordonnées $(x;y;z)$ vérifient le système précédent.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
La représentation paramétrique d'une droite ........... unique.
\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O ; \vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Soit $(\mathcal{P})$ un plan de l'espace contenant un point $A$ et dirigé par deux vecteurs $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ non colinéaires.\\
Un point $M$ de coordonnés $(x;y;z)$ appartient au plan $(\mathcal{P})$ si et seulement si il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c'est à dire si et seulement si
$$...$$
$$...$$
$$...$$
Ce système constitue une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . du plan $(\mathcal{P})$. $t$ et $t'$ en sont les . . . . . . . . . . . .
\end{encadrer}


\end{document}
