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\title{Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, classe de terminale S}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Vecteurs de l'espace}

\subsection{Extension de la notion de vecteur à l'espace}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
\'A tout couple de points $(A;B)$ de l'espace, on associe le vecteur $\vec{AB}$ tel que si $A$ et $B$ ne sont pas confondus, dans un plan qui contient $A$ et $B$, $\vec{AB}$ est le vecteur de la translation  qui transforme $A$ en $B$.
Si $A$ et $B$ sont confondus, le vecteur $\vec{AA}$ est le vecteur nul noté $\vec{0}$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{espacecoursimg2.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout point $A$ de l'espace et pour tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique point $B$ tel que $\vec{AB}=\vec{u}$.
\nouvitem $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points de l'espace. $\vec{AB}=\vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
\nouvitem Les règles de calculs sur les vecteurs du plan restent valables dans l'espace.
\nouvitem La notion de colinéarité reste valable dans dans l'espace c'est à dire que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère un cube $ABCDEFG$ et les points I, J et K tels que I et le centre de la face BCGF, K est le milieu de [HG] et $\?vec{BJ}=\frac{1}{4}\vec{BA}$. On va montrer que $(AK)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecubeexemple.png}
\end{center}

On a $\vec{AK}=\vec{AB}+\vec{BG}+\vec{GK}=\vec{AB}+\vec{BG}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\vec{BG}$ d'une part et $\vec{JI}=\vec{JB}+\vec{BI}=\frac{1}{4}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BG}$ d'autre part. Donc $\vec{AK}=2\vec{JI}$ et les vecteurs $\vec{AK}$ et $\vec{JI}$ sont colinéaires et les droites $(AK)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels qu'il existe un réel $k$ vérifiant $\vec{AM}=k\vec{AB}$.
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg1.png}
\end{center}

\subsection{Coplanarité}

\begin{encadrer}{Propriété}
$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace non alignés. Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ tels qu'il existe $a$ et $b$ réels vérifiant $\vec{AM}=a\vec{AB}+b\vec{AC}$.

On dit alors que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dirigent le plan ou qu'ils sont des \emphref{vecteurs directeurs} du plan $(ABC)$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg4.png}
\end{center}



\begin{encadrer}{Définition}
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont \emphref{coplanaires} si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ de l'espace qui vérifient $\vec{u}=\vec{AB}$, $\vec{v}=\vec{AC}$ et $\vec{w}=\vec{AD}$ appartiennent au même plan.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg3.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ ou si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. 
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
 Si deux plans sont dirigés par un même couple de vecteurs non colinéaires, alors ils sont parallèles.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[EF]$. On va montrer que $\vec{GC}$, $\vec{FE}$ et $\vec{AI}$ sont coplanaires :
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecubeimg2.png}
\end{center}
On a $\vec{AI}=\vec{AE}+\vec{EI}=\vec{CG}+\frac{1}{2}\vec{EF}=-\vec{GC}-\frac{1}{2}\vec{FE}$ donc les vecteurs sont coplanaires.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple : démonstration du théorème du toit}
 Rappelons l'énoncé du théorème : $(d_1)$ et $(d_2)$ sont deux droites parallèles, $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ sont deux plans distincts tels que $(d_1)$ est contenue dans $(\mathcal{P}_1)$ et $(d_2)$ est contenue dans $(\mathcal{P}_2)$. Si $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ sont sécants, alors la droite d'intersection $\Delta$ est parallèle à $(d_1)$ et à $(d_2)$.\\
Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur de $(d_1)$ et de $(d_2)$. Soit $\vec{w}$ un vecteur directeur de $\Delta$.\\
On considère un couple $(\vec{u};\vec{v_1})$ de vecteurs directeurs de $\mathcal{P}_1$ et $(\vec{u};\vec{v_2})$ un couple de vecteurs directeur de $\mathcal{P_2}$.\\
La droite $\Delta$ est contenue dans $\mathcal{P}_1$ donc il existe un couple de réels $(x_1;y_1)$ tel que $\vec{w}=x_1\vec{u}+y_1\vec{v_1}$.\\
De même, $\Delta$ étant contenue dans $\mathcal{P}_2$, il existe un couple $(x_2;y_2)$ tel que $\vec{w}=x_2\vec{u}+y_2\vec{v_2}$.\\
Avec les égalités précédentes, on obtient $x_1\vec{u}+y_1\vec{v_1}=x_2\vec{u}+y_2\vec{v_2}$ soit $(x_1-x_2)\vec{u}=y_2\vec{v_2}-y_1\vec{v_1}$.\\
Si $x_1\neq x_2$, alors $\vec{u}$,$\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ sont colinéaires ce qui serait contraire à l'hyothèse $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ sont distincts.\\
Donc $x_1=x_2$ et $y_1=y_2=0$ car $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ne sont pas colinéaires.\\
En conclusion, $\vec{w}=x_1\vec{u}$ et $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$.
\end{sanscadre}


\section{Géométrie analytique dans l'espace}

\subsection{Repérage dans l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine $O$ et de trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ non coplanaires. On note alors $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ ce repère.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Pour tout point $M$, il existe un unique triplet $(x;y;z)$ appelé coordonnées du point $M$ de réels tels que $\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. 

$x$ est \emphref{l'abscisse}, $y$ est \emphref{l'ordonnée} et $z$ est la \emphref{cote} du point $M$ dans ce repère.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimg5.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace, $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points.

Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\left( \begin{array}{c} x_B-x_A\\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)$ ;
\nouvitem le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées $(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$ ;
\nouvitem Le centre de gravité du triangle $ABC$ a pour coordonnées $(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3})$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage

\subsection{\'Equations paramétriques dans l'espace}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Soit $d$ une droite de l'espace passant par un point $A$ de coordonnées $(x_A;y_A;z_A)$ et admettant le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(a;b;c)$ pour vecteur directeur.\\
Un point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ appartient à la droite $d$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\vec{AM}=t\vec{u}$ c'est  à dire si et seulement si 
$$\left\{ \begin{array}{cc} x&=x_A+ta\\ y&=y_A+tb\\ z&=z_A+tc\\ \end{array}\right.$$
Ce système est appelé \emphref{représentation paramétrique} de la droite $d$ et $t$ est appelé \emphref{paramètre} de cette représentation.
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $A$ le point de coordonnées $(1;-4;3)$ et $\vec{u}$ le vecteur de coordonnées $(5;1;-2)$. Alors la droite $(d)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ admet pour représentation parramétrique :
$$\left\{ \begin{array}{cc} x&=1+5t\\ y&=-4+t \\ z&=3-2t\end{array}\right.$$
c'est  à dire qu'un point $M(x;y;z)$ appartient à cette droite si et seulement si ses coordonnées $(x;y;z)$ vérifient le système précédent.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Il n'y a pas unicité de la représentation paramétrique.
\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O ; \vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Soit $(\mathcal{P})$ un plan de l'espace contenant un point $A$ et dirigé par deux vecteurs $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ non colinéaires.\\
Un point $M$ de coordonnés $(x;y;z)$ appartient au plan $(\mathcal{P})$ si et seulement si il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que $\vec{AM}=t\?vec{u}+t'\vec{v}$ c'est à dire si et seulement si
$$\left\{\begin{array}{cc} x=&=x_A+ta+t'a'\\ y&=y_A+ta+t'a' \\ z&=z_A+ta+t'a'\\ \end{array}\right.$$
Ce système constitue une \emphref{représentation paramétrique} du plan $(\mathcal{P})$. $t$ et $t'$ en sont les paramètres.
\end{encadrer}


\end{document}
