<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\title{Parallélisme et orthogonalité dans l'espace - cours - Terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Parallélisme et orthogonalité dans l'espace, cours, classe de terminale S}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\pdfrowcolors{lightgray}

\section{Rappels sur les positions relatives d'objets de l'espace}

\subsection{Droites de l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
Deux droites de l'espace sont dites :
\begin{itemize}
\item \emphref{coplanaires} si elles sont contenues dans le même plan.
\item \emphref{parallèles} si elles sont contenues dans le même plan et si elles sont parallèles dans ce plan.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Propriété}
Soient $(\mathcal{D})$ et $\mathcal{D'}$ deux droites distinctes. Les configurations suivantes sont les seules possibles :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{ccc}
droites non coplanaires
&amp;
droites coplanaires sécantes

&amp;
droites parallèles
\\
\input{geometrieespacecoursfig1.tex}
&amp;
\input{geometrieespacecoursfig2.tex}
&amp;
\input{geometrieespacecoursfig3.tex}
\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Deux droites non coplanaires n'ont donc aucun point commun et ne sont pourtant pas non plus parallèles.
\end{sanscadre}


\subsection{Plans de l'espace}


\begin{encadrer}{Définition}
Deux \emphref{plans} sont \emphref{parallèles} si ils n'ont aucun point commun.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Deux plans sécants se coupent selon une droite.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Propriété}
Soient $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ deux plans distincts. Les configurations suivantes sont les seules possibles :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
plans parallèles stricts &amp; plans sécants \\
\input{geometrieespacecoursfig4.tex}
&amp;
\input{geometrieespacecoursfig5.tex}

\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\subsection{Droites et plans dans l'espace}

\defref{droiteparalleleplan}{}
\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{droite} est \emphref{parallèle à un plan} si elle n'a aucun point commun avec ce plan.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On a vu précédemment que deux droites qui n'ont aucun  point commun ne sont pas nécessairement parallèles.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Une droite $(\mathcal{D})$ de l'espace est parallèle à un plan si et seulement si le plan contient une droite qui lui est parallèle.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Synthèse}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{ccc}
droite sécante 	&amp; droite parallèle &amp; droite incluse  \\
\input{geometrieespacecoursfig6.tex}
&amp;
\input{geometrieespacecoursfig7.tex}
&amp;
\input{geometrieespacecoursfig8.tex}

\\
$(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{D})=\{I\}$
&amp;
$(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{D})=\emptyset$
&amp;
$(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{D})=\mathcal{D}$
\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Deux plans sont parallèles si l'un contient deux droites sécantes parallèles à l'autre.
\end{encadrer}

\newpage

\section{Parallélisme}

\begin{encadrer}{Théorème \og{}du toit\fg{}}
Si deux plans sécants $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P}')$ contiennent deux droites parallèles $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'})$, alors leur intersection $\Delta$ est parallèle aux droites $(\mathcal{D})$ et $\mathcal{D'}$.
\end{encadrer}


\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{espacecoursimgtoit.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{espacecoursimgplansparallelesetsecante.png}
\end{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimgcube1.png}
\end{center}
\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{espacecoursimgcube2.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de l'intersection de $(ABI)$ et $(DCI)$ :

$(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles. $(AB)$ est incluse dans $(ABI)$. $(DC)$ est incluse dans $(DCI)$. D'où $(ABI)$ et $(DCI)$ sont sécantes selon la droite parallèle passant par $I$ d'après le théorème du toit.
\nouvitem Recherche de l'intersection de $(ABJ)$ et $(DCG)$ :

$(ABF)$ est parallèle à $(DCG)$. $(ABJ)$ coupe $(ABF)$ selon la droite $(AB)$ donc $(ABJ)$ coupe $(DCF)$ selon la droite parallèle à $(AB)$ passant par $J$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\newpage


\section{Orthogonalité}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Deux \emphref{droites sont orthogonales} si et seulement si les droites parallèles à ces droites passant par un même point sont deux droites perpendiculaires.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\input{geometrieespacecoursfig12.tex}
\end{center}

\defref{droiteorthogonaleplan}{}
\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{droite est orthogonale à un plan} lorsqu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
\end{encadrer}


\begin{center}
\input{geometrieespacecoursfig13.tex}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
\end{encadrer}

\begin{center}
\input{geometrieespacecoursfig14.tex}
\end{center}

\end{document}
</pre></body></html>