<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

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\title{Matrices, terminale ES spécialité}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Notion de matrice}

\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. Une \emphref{matrice} de \emphref{dimension} $n\times p$ est un tableau de nombres de $n$ lignes et $p$ colonnes. On note ces nombres à l'aide de parenthèses :
$$M=\begin{pmatrix} a &amp; 2 &amp; 5 \\
4 &amp; b &amp; 1 \\
\end{pmatrix}$$
\nouvitem Une \emphref{matrice ligne} est une matrice n'ayant qu'une seule ligne :
$$\begin{pmatrix} 1 &amp; 3 &amp; 2 \end{pmatrix}$$
\nouvitem Une \emphref{matrice colonne} est une matrice n'ayant qu'une seule colonne :
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}$$
\nouvitem Une \emphref{matrice carrée} est une matrice ayant le m\^eme nombre de lignes et de colonnes.
\nouvitem Une matrice \emphref{diagonale} est une matrice carrée dont tous les termes sont nuls en dehors de la diagonale.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\section{Opérations sur les matrices}

\subsection{Produit d'une matrice par une matrice colonne}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $A$ une matrice à $p$ lignes et $n$ colonnes et B une matrice colonne à $n$ lignes.\\
Pour calculer le produit de $A$ par $B$ noté $AB$ :
pour chaque ligne de $A$, on multiplie le premier élément de la ligne de $A$ par le premier élément de $B$, puis le deuxième élément de la ligne de $A$ par le deuxième élément de $B$, et ainsi de suite jusqu'à au dernier. Puis on les ajoute. 
$$\begin{pmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; ... &amp; a_{1n} \\
a_{21} &amp; a_{22} &amp; ... &amp; a_{2n} \\
...
a_{p1} &amp; a_{p2} &amp; ... &amp; a_{pn} \\ 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ ... \\ u_n\end{pmatrix}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
$$\begin{pmatrix} 1 &amp; 5 &amp; 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 7\end{pmatrix}=1\times 4+5 \times 6+3 \times 7=4+30+21=55$$
$$\begin{pmatrix} 5 &amp; 2 &amp; 8\\ 3 &amp; 4 &amp; 7\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\  2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\times 4+2\times 6+8\times 2 \\ 3\times 4+4\times 6+7\times 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20+12+16\\12+24+14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}48\\50\end{pmatrix}$$
\end{sanscadre}

\subsection{Produit de deux matrices}


\begin{encadrer}{Définition}
Le produit d'un matrice $A$ de dimension $m\times p$ par une matrice $B$ de dimension $p\times n$ est la matrice $C$ notée $A\times B$ de dimension $m\times n$ telle que la colonne $j$ est le produit de la matrice $A$ par la colonne $j$ de la matrice $B$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$$\begin{pmatrix} 5 &amp; 2 &amp; 3 \\ 4 &amp; 1 &amp; 4 \\ 6 &amp; 3 &amp; 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
1 &amp; 7\\ 2 &amp; 4\\ 5 &amp; 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\times 1 + 2\times 2+3\times 5 &amp; 5\times 7+2 \times 4+3\times 1\\ 4\times 1+2\times 1+4\times 5 &amp; 4\times 7+4+4\times 1\\ 6\times 1+3\times 2+1\times 5 &amp; 6\times 7+3\times 4+1\times 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 29 &amp; 46 \\ 26 &amp; 36 \\ 17 &amp; 55 \end{pmatrix}$$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Attention $A\times B\neq B\times A$.
\end{sanscadre}

\subsection{Matrice inverse}

\begin{encadrer}{Définition}
La matrice \emphref{unité} d'ordre $n$ notée $I_n$ avec $n$ entier naturel non nul est la matrice carrée d'ordre $n$ diagonale dont tous les termes de la diagonale sont égaux à 1.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$$I_3=\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1\end{pmatrix}$$
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ alors $A\times I_n=I_n\times A=A$. La \emphref{matrice inverse} de $A$, s'il elle existe, est la matrice notée $A^{-1}$ telle que $$A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I_n$$.
\end{encadrer} 

\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $$A=\begin{pmatrix}0 &amp; 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; 1 &amp; 1 \\ 4 &amp; 2 &amp; 1 \end{pmatrix}$$
alors $A^{-1}$ existe et vaut :
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0,5 &amp; -1 &amp; 0,5 \\ -1,5 &amp; 2 &amp; -0,5 \\ 1 &amp; 0 &amp; 0\end{pmatrix}$$
On peut en effet vérifier que $AA^{-1}=I_3$ et $A^{-1}A=I_3$.
\end{sanscadre}

\subsection{Somme et produit d'une matrice par un réel}

\begin{encadrer}{Définitions}
Soient $A$ et $B$ deux matrices ayant le m\^eme nombre de lignes et le m\^eme nombre de colonnes. Soit $k$ un réel.
\begin{itemize}
\nouvitem La somme $A+B$ des deux matrices s'obtient en ajoutant chaque terme de $A$ au terme correspondant de $B$.
\nouvitem La différence $A-B$ s'obtient en enlevant à chaque terme de $A$ le terme correspondant de $B$.
\nouvitem L'opposée $-A$ d'une matrice s'obtient en remplaçant chacun de ses termes par son opposé.
\nouvitem $kA$ est la matrice obtenue en multipliant chaque terme de $A$ par $k$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
$A$, $B$ et $C$ désignent des matrices ayant le m\^eme nombre de lignes et le m\^eme nombre de colonnes. $k$ et $k'$ sont deux réels. On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $A+B=B+A$
\nouvitem $(A+B)+C=A+(B+C)$
\nouvitem $k(A+B)=kA+kB$
\nouvitem $(k+k')A=kA+k'A$
\nouvitem $k(k'A)=(kk')A$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\section{Application à la résolution de systèmes}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On cherche une fonction $f$ telle que pour tout $x$ réel $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels fixés et telle que sa courbe représentative passe par les points $A(0;1)$, $B(1;2)$ et $C(2;7)$.

On a donc le système 
$$\left\{\begin{array}{ll}f(0)=1 \\ f(1)=2 \\ f(2)=7\end{array}\right.$$
soit 
$$\left\{\begin{array}{ll}a\times 0^2+b\times 0 + c=1\\a\times 1^2+b\times 1+c=2\\a\times 2^2+b\times 2+c=7\end{array}\right.$$
donc
$$\left\{\begin{array}{ll}0a+0b+1c=1\\2a+1b+1c=2\\4a+2b+c=7\end{array}\right.$$
En posant $$A=\begin{pmatrix}0 &amp; 0 &amp; 1\\ 1 &amp; 1 &amp; 1\\ 4 &amp; 2 &amp; 1\end{pmatrix}$$
et
$$X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$
ainsi que 
$$B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 7\end{pmatrix}$$
le système s'écrit :
$$AX=B$$
D'où $$X=A^{-1}B$$
donc
$$X=\begin{pmatrix}
0,5 &amp; -1 &amp; 0,5\\
-1,5 &amp; 2 &amp; -0,5 \\
1 &amp; 0 &amp;0
\end{pmatrix}
\times \begin{pmatrix}
1 \\2\\7
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
2\\-1\\1
\end{pmatrix}$$
On a donc $f(x)=2x^2-x+1$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Méthode}
Dans la résolution d'un système de $n$ équations à $n$ inconnues :
\begin{itemize}
\nouvitem La matrice $A$ des coefficients du système est une matrice carrée d'ordre $n$ ;
\nouvitem La matrice $X$ des inconnues est une matrice colonne à $n$ lignes ;
\nouvitem la matrice $B$ des seconds membres est une matrice colonne à $n$ lignes.
\end{itemize}
La recherche des coefficients de la fonction polynomiale $f$ se traduit par un système qui s'écrit sous forme d'une équation matricielle :
$$A\times X=B$$
Si la matrice inverse de la matrice $A$ existe, alors la fonction $f$ existe et ses coefficients sont obtenus par $$X=A^{-1}B$$
\end{encadrer}


\end{document}</pre></body></html>