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% cadres année 2015
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\title{Trigonométrie, cours, première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Trigonométrie, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{Trigonométrie, cours, première, spécialité Mathématiques}}
\end{center}

%D'après cours 1S 2011, angles orientés
\section{Cercle trigonométrique et radian}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionstrigocours2ndefig3.png}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $(O ; \vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormal du plan. On appelle \emphref{cercle trigonométrique} tout cercle ........ ...... ........... ........... ............. .............. ................ ................. ................ .
\end{encadrer}
}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Dans un repère orthonormal $(O;\vec{OI};\vec{OJ})$, on considère le cercle trigonométrique de centre O et la droite $\mathcal{D}$ tangente en $I$ à la droite $(OI)$. On considère sur cette droite un repère $(I;\vec{IK})$ tel que $IK=1$.

\'A tout nombre réel $x$ on fait correspondre le point $N$ d'abscisse $x$ dans le repère $(I;\vec{IK})$ de $\mathcal{D}$. Par enroulement de la droite $\mathcal{D}$ autour du cercle $\mathcal{C}$, on obtient un point $M$ unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de $x$ soit égale à la longueur de l'arc $IM$.

On appelle mesure en \emphref{radian} de l'angle $\widehat{IOM}$ le nombre $|x|$.
\end{encadrer}
}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
La mesure d'un angle en radian est ........................ à la mesure du même angle en degrés.
\end{encadrer}
}

\newpage

\cadre{
\begin{encadrer}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre d'un cercle trigonométrique intercepté par un arc de longueur d'une .............. ................. ;
\nouvitem Un angle plat mesure 180 en degrés ou ............. en radians.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
\savoirFaire{Convertir des radians en degré et réciproquement}
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{\pi}{3} \textrm{rad} = ...........$ ;
\nouvitem $3 \textrm{rad} = .................. $ ;
\nouvitem $135^{\circ}= .............$.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

%D'aprsè cours 1S 2011, cosinus et sinus

\section{Cosinus et sinus d'un réel}

Soit $(O:\vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormal et $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre O.

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit M le point de $\mathcal{C}$ image du réel $x$. On appelle :
\begin{itemize}
\nouvitem cosinus de $x$ noté $\cos (x)$ .................. du point M ;
\nouvitem sinus de $x$ noté $\sin (x)$ .................. du point M.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{trigonometriereperagecours1Simg2.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$, en appelant $H$ et $K$ les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées,  alors on a dans le triangle rectangle OMH où $OM = 1$ (le cercle étant un cercle trigonométrique) :
$\cos(\widehat{MOH})=\frac{OH}{OM}=OH=\cos(x)$\\
et $\sin(\widehat{MOH})=\frac{KH}{OM}=OK=\sin(x)$.\\
La définition du cosinus et du sinus pour un réel compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ coïncide donc avec la définition du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $............ \cos (x) ............$ ;
\nouvitem $............ \sin (x) ............$ ;
\nouvitem $\cos ^2(x)+\sin ^2(x)=...........$ ;
\nouvitem $\cos (x+k2\pi)=.......$ ;
\nouvitem $\sin (x+k2\pi)=.......$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Valeurs remarquables}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{onehalfspace}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle en radians & angle en \degre & cosinus & sinus\\
\hline
$0$ & .... & .... & .... \\
\hline
$\frac{\pi}{6}$ & ..... & ..... & ...... \\
\hline
$\frac{\pi}{4}$ & ..... & ..... & ...... \\
\hline
 $\frac{\pi}{3}$ & ..... & ..... & ..... \\
\hline
$\frac{\pi}{2}$ & ..... & ..... & ..... \\
\hline
$\pi$ & ..... & ..... & ..... \\
\hline
\end{tabular}
\end{onehalfspace}
\end{center}
\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\cadre{
\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Propriétés :}\\
Pour tout réel $x$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $\cos (-x) =$... ;
\nouvitem $\sin (-x) =$... ;
\nouvitem $\cos (\pi -x)=$... ;
\nouvitem $\sin (\pi -x)=$... ;
\nouvitem $\cos (\pi +x)=$... ;
\nouvitem $\sin (\pi +x)=)$... ;
\nouvitem $\cos (\frac{\pi}{2}-x) =$... ;
\nouvitem $\sin (\frac{\pi}{2}-x) =$... ;
\nouvitem $\cos (\frac{\pi}{2}+x)=$... ;
\nouvitem $\sin (\frac{\pi}{2}+x)=$... .
\end{itemize}
\end{minipage}
}
&
\cadre{
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics[width=10cm]{TrigonometrieAnglesAssociesFig.png}

\end{minipage}
}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer le cosinus ou le sinus d'un angle associé}\\
$\cos(-\frac{7\pi}{6})=...$
\end{sanscadre}

\section{\'Equations trigonométriques}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $a\in \mathbb{R}$.
\begin{itemize}
 \nouvitem L'équation $\cos(x)=\cos(a)$ a pour solutions les nombres réels ........... et .......... tels que $k \in\mathbb{Z}$.
\nouvitem L'équation $\sin(x)=\sin(a)$ a pour solutions les nombres réels .......... et ........... tels que $k\in\mathbb{Z}$.
\end{itemize}

\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Résoudre des équations trigonométriques}\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{ll}
\begin{minipage}{10cm}
Résolution de $\sin(x)=\frac{1}{2}$.\par
\noindent En s'aidant du cercle trigonométrique, l'équation a pour solutions dans $[0;2\pi]$ les nombres ............ et ............, c'est  à dire ............. et ............ .\par
\noindent Dans $\mathbb{R}$, les solutions sont donc .................... et .................. avec $k\in\mathbb{Z}$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{cosinussinuscoursimg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}


%D'après cours TS 2011
\section{Fonctions trigonométriques}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 \begin{itemize}
\nouvitem La fonction \emphref{cosinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \cos(x)$.
\nouvitem La fonction \emphref{sinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \sin(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\sin'(x)=$...... ;
  \nouvitem $\cos'(x)=$..... .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{paire} si pour tout $x\in I,\,$ ...................... c'est à dire si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est ........................ ........................ ........................
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{impaire} si pour tout $x\in I,\, f(-x)=-f(x)$ c'est à dire si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est .............. .................... ....................... .
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est \emphref{périodique} de période $T$ si pour tout réel $x\in \mathbb{R}, f(x+T)=f(x)$. Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, sa courbe représentative est invariante par les translations de vecteurs ............  où $k\in \mathbb{Z}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout $x$ réel, $\cos(x+2\pi)=$........... et $\sin(x+2\pi)=$.......... . Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions \emphref{périodiques} de période ...........
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\cos(-x)=$.......  . La fonction cosinus est une fonction ............... .
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\sin(-x)=$........ . La fonction sinus est une fonction .............. .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos(4x)$.\\
Pour tout réel $x$, $f(-x)=$....\\
donc $f$ est une fonction ....... .\\
Pour tout réel $x$, $f(x+\frac{\pi}{2})=$\\
donc $f$ est périodique de période .......... .
\end{sanscadre}

\newpage

\section{\'Etude des fonctions cosinus et sinus sur $[0;\pi]$}

\subsection{Fonction cosinus}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ & ..... & & ..... & & ..... \\
\hline
 $\cos(x)$ & & .... & .... & .... & \\
\hline
\end{tabular}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & ..... & & ....... & & ...... \\
\hline
 & .... & & & & \\
$\cos{x}$ & & ......... & & & \\
 & & & ..... & & \\
 & & & & ...... &  \\
 & & & & & ..... \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{sanscadre}{Preuve des variations}
 Pour tout $x\in[0;\pi]$, $\cos'(x)=$...... . Pour tout $x\in]0;\pi[$ $\sin(x) ..... 0$ donc $\cos'(x) ..... 0$ et la fonction cosinus est ............. ................. sur $[0;\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction cosinus est appelée ...................... .

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourscosinusimg.png}
\end{center}


\subsection{Fonction sinus}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ & ...... & & ....... & & ..... \\
\hline
 $\sin(x)$ & .... & .... &  & .... & .... \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & .... & & ..... & & .... \\
\hline
 $\sin(x)$& & & .... & & \\
&  & $\nearrow$ & & ..... &  \\
 & .... & & & & .... \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 Pour tout $x\in [0;\pi]$, $\sin'(x)=$..... . Pour tout $x\in]0;\frac{\pi}{2}[$, $\cos(x) .... 0$ et pour tout $x\in]\frac{\pi}{2};\pi[$, $\cos(x) .... 0$ donc la fonction sinus et ................. ................ sur ................ et ............. ............... sur ............. .
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction sinus est appelée ............... .

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourssinusimg.png}
\end{center}

\section{Applications}

\subsection{Résolution d'inéquations trigonométriques}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Résolution de l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ sur $[0 ; \pi]$.\\
On sait que l'équation $\sin(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions sur $\mathbb{R}$, ...................... ................ ........................... avec $k_1$ et $k_2$ entiers relatifs.\\
Les solutions sur $[0;\pi]$ sont donc ........................ ...................... .................... .\\
D'après les variations de la fonction sinus sur $[0;\pi]$, l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ a donc pour ensemble de solutions ..................... ....................... sur $[0;\pi]$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg1.png}
\end{center}

\end{sanscadre}


\subsection{Exemple d'étude de fonctions}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; \pi]$ par $f(x)=\frac{x}{2}-\sin(x)$.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, ......................... .................. .\\
$f'(x)\geq 0$ équivaut à ............... ................. c'est  à dire ................. ......................\\
On sait que $\cos(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions ........................... ........................ .............. ................... sur $\mathbb{R}$ où $k_1$ et $k_2$ sont des entiers relatifs.\\
Donc sur $[0;\pi]$, l'unique solution est ...................... .\\
Par lecture du cercle trigonométrique, l'inéquation $\cos(x)\leq \frac{1}{2}$ a pour ensemble de solutions ..................... ............... .\\
Par conséquent, on a le tableau de variations suivant :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & 0 & & ............. & & $\pi$ \\
\hline
$f'(x)$ & & ..... & 0 & ..... & \\
\hline
$f(x)$ & & .......... & & .......... & \\
 & & & ............... & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg2.png}
\end{center}



\end{sanscadre}
\end{document}

