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% cadres année 2015
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\title{Trigonométrie, cours, première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Trigonométrie, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

%D'après cours 1S 2011, angles orientés
\section{Cercle trigonométrique et radian}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{fonctionstrigocours2ndefig3.png}
\end{center}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $(O ; \vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormal du plan. On appelle \emphref{cercle trigonométrique} tout cercle dont le rayon est égal à l'unité de longueur, de centre l'origine O du repère et orienté par un sens de parcours appelé \emphref{sens direct}.
\end{encadrer}
}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Dans un repère orthonormal $(O;\vec{OI};\vec{OJ})$, on considère le cercle trigonométrique de centre O et la droite $\mathcal{D}$ tangente en $I$ à la droite $(OI)$. On considère sur cette droite un repère $(I;\vec{IK})$ tel que $IK=1$.

\'A tout nombre réel $x$ on fait correspondre le point $N$ d'abscisse $x$ dans le repère $(I;\vec{IK})$ de $\mathcal{D}$. Par enroulement de la droite $\mathcal{D}$ autour du cercle $\mathcal{C}$, on obtient un point $M$ unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de $x$ soit égale à la longueur de l'arc $IM$.

On dit qu'une mesure en \emphref{radian} de l'angle $\widehat{IOM}$ est le nombre $|x|$.
\end{encadrer}
}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
La mesure d'un angle en radian est \emphref{proportionnelle} à la mesure du même angle en degrés.
\end{encadrer}
}

\newpage

\cadre{
\begin{encadrer}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem Un radian correspond à la mesure de l'angle au centre d'un cercle trigonométrique intercepté par un arc de longueur d'une unité de longueur ;
\nouvitem Un angle plat mesure 180 en degrés ou $\pi$ en radians.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadresansflush}{Exemple}
\savoirFaire{Convertir des radians en degré et réciproquement}
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{\pi}{3} \textrm{rad} =60^{\circ}$ ;
\nouvitem $3 \textrm{rad} =\frac{3}{\pi}\times 180^{\circ}\approx 171^{\circ}$ ;
\nouvitem $135^{\circ}=\frac{135}{180}\pi \textrm{rad}=\frac{27}{36}\pi \textrm{rad}=\frac{3\pi}{4}\textrm{rad}$.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

%D'aprsè cours 1S 2011, cosinus et sinus

\section{Cosinus et sinus d'un réel}

Soit $(O:\vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormal et $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre O.

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit M le point de $\mathcal{C}$ image du réel $x$. On appelle :
\begin{itemize}
\nouvitem cosinus de $x$ noté $\cos (x)$ l'abscisse du point M ;
\nouvitem sinus de $x$ noté $\sin (x)$ l'ordonnée du point M.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{trigonometriereperagecours1Simg2.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$, en appelant $H$ et $K$ les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées,  alors on a dans le triangle rectangle OMH où $OM = 1$ (le cercle étant un cercle trigonométrique) :
$\cos(\widehat{MOH})=\frac{OH}{OM}=OH=\cos(x)$\\
et $\sin(\widehat{MOH})=\frac{KH}{OM}=OK=\sin(x)$.\\
La définition du cosinus et du sinus pour un réel compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ coincide donc avec la définition du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $-1\leq \cos (x)\leq 1$ ;
\nouvitem $-1\leq \sin (x)\leq 1$ ;
\nouvitem $\cos ^2(x)+\sin ^2(x)=1$ ;
\nouvitem $\cos (x+k2\pi)=\cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (x+k2\pi)=\sin (x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Valeurs remarquables}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle en radians &amp; angle en \degre &amp; cosinus &amp; sinus\\
\hline
$0$ &amp; 0 &amp; $1$ &amp; $0$ \\
\hline
$\frac{\pi}{6}$ &amp; 30 &amp; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ &amp; $\frac{1}{2}$ \\
\hline
$\frac{\pi}{4}$ &amp; 45 &amp;$\frac{\sqrt{2}}{2}$ &amp; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \\
\hline
 $\frac{\pi}{3}$ &amp; 60 &amp; $\frac{1}{2}$ &amp; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\
\hline
$\frac{\pi}{2}$ &amp; 90 &amp; $0$ &amp; $1$ \\
\hline
$\pi$ &amp; 180 &amp; $-1$ &amp; $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
\cadre{
\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Propriétés :}\\
Pour tout réel $x$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $\cos (-x) = \cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (-x) = -\sin (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\pi -x)=-\cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (\pi -x)=\sin (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\pi +x)=-\cos (x)$ ;
\nouvitem $\sin (\pi +x)=-\sin (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\frac{\pi}{2}-x) =\sin (x)$ ;
\nouvitem $\sin (\frac{\pi}{2}-x) =\cos (x)$ ;
\nouvitem $\cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin(x)$ ;
\nouvitem $\sin (\frac{\pi}{2}+x)=\cos(x)$.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
&amp;
\cadre{
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics[width=10cm]{TrigonometrieAnglesAssociesFig.png}

\end{minipage}
}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\savoirFaire{Calculer le cosinus ou le sinus d'un angle associé}\\
$\cos(-\frac{7\pi}{6})=\cos(\frac{7\pi}{6})=\cos(\pi+\frac{\pi}{6})=-\cos(\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{sanscadre}

\section{\'Equations trigonométriques}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $a\in \mathbb{R}$.
\begin{itemize}
 \nouvitem L'équation $\cos(x)=\cos(a)$ a pour solutions les nombres réels $a+2k\pi$ et $-a+2k\pi$ tels que $k \in\mathbb{Z}$.
\nouvitem L'équation $\sin(x)=\sin(a)$ a pour solutions les nombres réels $a+2k\pi$ et $\pi-a+2k\pi$ tels que $k\in\mathbb{Z}$.
\end{itemize}

\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire}
\savoirFaire{Résoudre des équations trigonométriques}\\
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{ll}
\begin{minipage}{10cm}
Résolution de $\sin(x)=\frac{1}{2}$.\par
\noindent En s'aidant du cercle trigonométrique, l'équation a pour solutions dans $[0;2\pi]$ les nombres $\frac{\pi}{4}$ et $\pi-\frac{\pi}{4}$, c'est  à dire $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$.\par
\noindent Dans $\mathbb{R}$, les solutions sont donc $\frac{\pi}{4}+2k\pi$ et $\frac{3\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{6cm}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{cosinussinuscoursimg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}


%D'après cours TS 2011
\section{Fonctions trigonométriques}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
 \begin{itemize}
\nouvitem La fonction \emphref{cosinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \cos(x)$.
\nouvitem La fonction \emphref{sinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \sin(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\sin'(x)=\cos(x)$ ;
  \nouvitem $\cos'(x)=-\sin(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{paire} si pour tout $x\in I,\, f(-x)=f(x)$ c'est à dire si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{impaire} si pour tout $x\in I,\, f(-x)=-f(x)$ c'est à dire si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est \emphref{périodique} de période $T$ si pour tout réel $x\in \mathbb{R}, f(x+T)=f(x)$. Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, sa courbe représentative est invariante par les translations de vecteurs $-k\vec{i}$ où $k\in \mathbb{Z}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout $x$ réel, $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$. Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions \emphref{périodiques} de période $2\pi$.
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction cosinus est une fonction \emphref{paire}.
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\sin(-x)=-\sin(x)$. La fonction sinus est une fonction \emphref{impaire}.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos(4x)$.\\
Pour tout réel $x$, $f(-x)=\cos(-4x)=\cos(4x)=f(x)$ donc $f$ est une fonction paire.\\
Pour tout réel $x$, $f(x+\frac{\pi}{2})=\cos(4(x+\frac{\pi}{2}))=\cos(4x+2\pi)=\cos(4x)=f(x)$ donc $f$ est périodique de période $\frac{\pi}{2}$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{\'Etude des fonctions cosinus et sinus sur $[0;\pi]$}

\subsection{Fonction cosinus}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ &amp; $0$ &amp; &amp; $\frac{\pi}{2}$ &amp; &amp; $\pi$ \\
\hline
 $\cos(x)$ &amp; &amp; + &amp; 0 &amp; - &amp; \\
\hline
\end{tabular}

\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ &amp; $0$ &amp; &amp; $\frac{\pi}{2}$ &amp; &amp; $\pi$ \\
\hline
 &amp; $1$ &amp; &amp; &amp; &amp; \\
$\cos{x}$ &amp; &amp; $\searrow$ &amp; &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; $0$ &amp; &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; &amp; $\searrow$ &amp;  \\
 &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; $-1$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{sanscadre}{Preuve des variations}
 Pour tout $x\in[0;\pi]$, $\cos'(x)=-\sin(x)$. Pour tout $x\in]0;\pi[$ $\sin(x)&gt; 0$ donc $\cos'(x)&lt; 0$ et la fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0;\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction cosinus est appelée \emphref{cosinusoïde}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourscosinusimg.png}
\end{center}


\subsection{Fonction sinus}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ &amp; $0$ &amp; &amp; $\frac{\pi}{2}$ &amp; &amp; $\pi$ \\
\hline
 $\sin(x)$ &amp; 0 &amp; + &amp;  &amp; + &amp; 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ &amp; $0$ &amp; &amp; $\frac{\pi}{2}$ &amp; &amp; $\pi$ \\
\hline
 $\sin(x)$&amp; &amp; &amp; $1$ &amp; &amp; \\
&amp;  &amp; $\nearrow$ &amp; &amp; $\searrow$ &amp;  \\
 &amp; $0$ &amp; &amp; &amp; &amp; $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 Pour tout $x\in [0;\pi]$, $\sin'(x)=\cos(x)$. Pour tout $x\in]0;\frac{\pi}{2}[$, $\cos(x)&gt;0$ et pour tout $x\in]\frac{\pi}{2};\pi[$, $\cos(x)&lt;0$ donc la fonction sinus et strictement croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction sinus est appelée \emphref{sinusoïde}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourssinusimg.png}
\end{center}

\section{Applications}

\subsection{Résolution d'inéquations trigonométriques}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Résolution de l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ sur $[0 ; \pi]$.\\
On sait que l'équation $\sin(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions sur $\mathbb{R}$, $\frac{\pi}{6}+2k_1\pi$ et $\pi-\frac{\pi}{6}+2k_2\pi$ avec $k_1$ et $k_2$ entiers relatifs.\\
Les solutions sur $[0;\pi]$ sont donc $\frac{\pi}{6}$ et $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$.\\
D'après les variations de la fonction sinus sur $[0;\pi]$, l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ a donc pour solutions $[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]$ sur $[0;\pi]$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg1.png}
\end{center}

\end{sanscadre}


\subsection{Exemple d'étude de fonctions}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; \pi]$ par $f(x)=\frac{x}{2}-\sin(x)$.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=\frac{1}{2}-\cos(x)$.\\
$f'(x)\geq 0$ équivaut à $\frac{1}{2}-\cos(x)\geq 0$ c'est  à dire $\frac{1}{2}\geq \cos(x)$\\
On sait que $\cos(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{3}+2k_1\pi$ et $-\frac{\pi}{3}+2k_2\pi$ sur $\mathbb{R}$ où $k_1$ et $k_2$ sont des entiers relatifs.\\
Donc sur $[0;\pi]$, l'unique solution est $\frac{\pi}{3}$.\\
Par lecture du cercle trigonométrique, l'inéquation $\cos(x)\leq \frac{1}{2}$ a pour solutions $[\frac{\pi}{3};\pi]$.\\
Par conséquent, on a le tableau de variations suivant :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ &amp; 0 &amp; &amp; $\frac{\pi}{3}$ &amp; &amp; $\pi$ \\
\hline
$f'(x)$ &amp; &amp; - &amp; 0 &amp; + &amp; \\
\hline
$f(x)$ &amp; &amp; $\searrow$ &amp; &amp; $\nearrow$ &amp; \\
 &amp; &amp; &amp; $\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ &amp; &amp; \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg2.png}
\end{center}
\end{sanscadre}

\end{document}

</pre></body></html>