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\title{Variations des suites numériques, cours, première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Suites numériques, variations, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\Large \textbf{Variations de suites, cours, première, spécialité Mathématiques}}
\end{center}



\section{Sens de variation}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une suite $(u_n)_n$ est \emphref{croissante} à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$ si pour tout entier $n\geq p$, ......................... .
\nouvitem Une suite $(u_n)_n$ est \emphref{décroissante} à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$ si pour tout entier $n\geq p$, ......................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Détermination du sens de variation d'une suite définie explicitement]}
\begin{onehalfspace}
On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=n^2-2n-6$.\\
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a\\
....\\
donc ......\\
Pour tout $n\geq 1$, .................... donc la suite $(u_n)$ est ............ ............. .
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$. Si $f$ est une fonction définie sur $[p; +\infty[$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n=f(n)$,
alors 
\begin{itemize}
\nouvitem si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$, la suite $(u_n)$ est .................. à partir du rang $p$;
\nouvitem si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$, la suite $(u_n)$ est .................. à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve (cas où $f$ est décroissante par exemple)}
Pour tout entier naturel $n\geq p$ $u_{n+1}-u_n=$............. .\\
Or $p\leq n<n+1$ et  $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ donc $u_{n+1} ....... u_n$ c'est  à dire $u_{n+1}-u_n ..... 0$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Détermination du sens de variation d'une suite définie explicitement]}
\begin{onehalfspace}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout entier naturel non nul $n$.\\ Alors $u_n=f(n)$ avec $f(x)=\frac{1}{x}$.\\
On sait que $f$ est ............. ................ sur $]0;+\infty[$ donc $(u_n)$ est .............. ....................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un certain rang $p\in\mathbb{N}$. Si pour tout entier naturel $n\geq p$, $u_n$ est strictement positif, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si pour tout entier naturel $n\geq p$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq ..... $, alors la suite $(u_n)$ est ........................  à partir du rang $p$ ;
\nouvitem si pour tout entier naturel $n\geq p$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq ..... $, alors la suite $(u_n)$ est ....................... à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Découle immédiatement de l'équivalence $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq ....$ si et seulement si $u_{n+1}....... u_n$ c'est  à dire $u_{n+1}-u_n\geq ....$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Détermination du sens de variation d'une suite]}
\begin{onehalfspace}
Soit $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{5\times 3^n}{2^{n+2}}$ pour tout entier naturel $n$.\\
$(u_n)$ est de manière évidente strictement positive.\\
Pour tout entier naturel $n$,
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=$............\\
.....\\
.....\\
D'où $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>....$ donc la suite $(u_n)$ est ............... ................ .
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme qui donne, dans le cas d'une suite $(u_n)$ définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, de premier terme $u_p$ et croissante et non majorée, le plus petit rang $n$ tel que la suite soit au-dessus d'un nombre $M$ donné.
\begin{onehalfspace}
\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $u_p$, $M$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow .......$;\\
\Tq{$u<M$}{
$u \leftarrow .....$;\\
$p \leftarrow ....$\\}
\Sortie{$p$}}
\end{algorithm}
\end{onehalfspace}

\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=2$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici). $M$ est choisi par l'utilisateur.

\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def seuil(p,u,M):
    u=...
    while(u<M):
        u=.....
        p=.....
    return ....
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Application à l'\'Etude de suites particulières}

\subsection{Suites arithmétiques}

\begin{encadrer}{Propriété, reconnaissance}
\begin{onehalfspace}
Une suite $(u_n)_n$ est arithmétique si et seulement si pour tout entier $n$, ....................... .................... .................. ..................... . Cette constante est alors la ................ de la suite.
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété, sens de variation}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ c'est à dire $r>0$ alors $(u_n)_n$ est ............ .................. ;
\nouvitem si pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n<0$ c'est à dire $r<0$ alors $(u_n)_n$ est ............... ................. ;
\nouvitem si $r=0$ alors $(u_n)$ est ...................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}


\subsection{Suites géométriques}


\begin{encadrer}{Propriété (reconnaissance)}
Une suite $(u_n)_n$ dont aucun terme n'est nul est géométrique si pour tout entier $n$,  ................. ..................... .................. ................ . Sa valeur est alors la ............. $q$ de la suite.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété (sens de variation)}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme $u_p>0$ où $p$ est un entier naturel.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $........$ alors la suite $(u_n)$ est ............... ................ ;
\nouvitem si $........$, alors la suite $(u_n)$ est ................. .............. ;
\nouvitem si $........$, alors la suite $(u_n)$ est ............... .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=...$\\
$u_p$ et $q$ étant positifs, $u_{n+1}-u_n$ est donc du signe de ......... d'où le résultat.
\end{sanscadre}



\end{document}
