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\title{Suites numériques particulières, cours, première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Suites arithmétiques}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $r$ un nombre réel. On appelle \emphref{suite arithmétique} de \emphref{raison} $r$ toute suite définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_p$ avec $p$ entier naturel) et pour tout entier naturel $n$ (ou $n\geq p$) par la relation :
$$u_{n+1}=u_n+r$$
D'où le schéma :
$$u_0\stackrel{+r}{\longmapsto} u_1\stackrel{+r}{\longmapsto} u_2\stackrel{+r}{\longmapsto} ...\stackrel{+r}{\longmapsto} u_n$$
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
La suite définie par $u_0=11$ et $u_{n+1}=u_n-2$ pour tout entier naturel $n$ est arithmétique.\\
On a :\\
$u_1=u_0-2=11-2=9$,\\
$u_2=u_1-2=9-2=7$,\\
$u_3=u_2-2=7-2=5$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si le premier terme est $u_0$, alors pour tout entier $n$, $$u_n=u_0+nr$$
\nouvitem si le premier terme est $u_1$, alors pour tout entier $n$, $$u_n=u_1+(n-1)r$$
\end{itemize}
De manière plus générale,  pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ avec $p&lt;n$ on a :
$$u_{n}=u_p+(n-p)r$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple [Exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite arithmétique]}
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme $u_0=56$. \\
$u_n=56-4n$\\
On a par exemple, $u_{12}=u_0+12r=56+12\times (-4)=8$ ou encore $u_{15}=u_12+3r=8+3\times (-4)=8-12=-4$.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si pour tout entier $n$, la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante. Cette constante est alors la raison de la suite.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir reconnaître une suite arithmétique]}
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies respectivement par $u_n=3n-6$ et $v_n=3n^2-6$.\\
$u_{n+1}-u_n=3(n+1)-6-(3n-6)=3n+3-6-3n+6=3$\\
donc $(u_n)$ est arithmétique de raison 3.\\
$v_{n+1}-v_n=3(n+1)^2-6-(3n^2-6)=3(n^2+2n+1)-6-3n^2+6=6n+3$\\
$v_1-v_0=-3-(-6)=3$ et $v_2-v_1=6-(-3)=9$\\
donc la suite $(v_n)$ n'est pas arithmétique.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout entier naturel $n$ est $u_n=an+b$ si et seulement si sa représentation graphique dans un repère du plan est  constituée de points alignés .\\
$a$ est alors la raison de la suite.
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Il suffit de démontrer l'équivalence entre la première et la deuxième affirmation, la troisième correspondant à la représentation graphique de la troisième.\\
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $a$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0+na$ d'où la deuxième affirmation en posant $b=u_0$.\\
Si pour tout entier naturel $n$, $u_n=an+b$, on pose $r=a$, $u_0=b$. Alors $u_n=u_0+nr$ et $u_{n+1}-u_n=u_0+(n+1)r-(u_0+nr)=r$ donc la suite est arithmétique de raison $r$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par $u_n=-4+2n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{suitesRepresentationGraphiqueArithmetiqueCours.png}
\end{center}
\end{sanscadre}


\section{Suites géométriques}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $q$ un réel. On appelle suite \emphref{géométrique} de \emphref{raison} $q$ toute suite définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_p$ avec $p$ entier naturel) et telle que pour tout entier naturel $n\geq 0$ (ou $n\geq p$) :
$$u_{n+1}=qu_n$$
D'où le schéma :
$$u_0\stackrel{\times q}{\longmapsto} u_1\stackrel{\times q}{\longmapsto} u_2\stackrel{\times q}{\longmapsto} ...\stackrel{\times q}{\longmapsto} u_n$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La suite $(v_n)$ définie par $v_0=9$ et $v_{n+1}=v_{n}\times \frac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n$, est géométrique de raison $\frac{1}{3}$.\\
On a :\\
$v_1=v_0\times \frac{1}{3}=9\times \frac{1}{3}=3$.\\
$v_2=v_1\times \frac{1}{3}=3\times \frac{1}{3}=1$.\\
\end{sanscadre} 

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme :
\begin{itemize}
\nouvitem $u_0$, alors $u_n=q^nu_0$ ;
\nouvitem $u_1$, alors $u_n=q^{n-1}u_1$.
\end{itemize}
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p&lt;n$, on a :
$$u_n=u_p\times q^{n-p}$$
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple [Exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite géométrique]}
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$. \\
$u_n=5\times 2^n$\\
On a par exemple $u_{12}=u_0\times q^{12}=5\times 2^{12}=5 \times 4096=20480$.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si pour tout entier $n$, le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant. Sa valeur est alors la raison $q$ de la suite.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=0,5\times 3^n$.\\
On a :\\
$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{0,5\times 3^{n+1}}{0,5\times 3^n}=\dfrac{0,5\times 3^{n}\times 3}{0,5\times 3^n}=3$\\
Donc la suite est géométrique de raison 3.
\end{sanscadre}





\end{document}
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