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\title{Sommes de termes de suites, cours, première, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Sommes de termes de suites numériques, cours, classe de première, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Sommes de termes de suites, cours, première, spécialité Mathématiques}}
\end{center}


\section{Suites arithmétiques}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Pour tout entier naturel $n$, 
$$1+2+3+\ldots+n=...................$$
ce que l'on note aussi 
$$\sum_{k=0}^{k=n}k=.....$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a :
 \begin{align*}
&(1+2+3+\ldots+n)+(1+2+3+\ldots+n) \\
&=............ \\
 &=................\\
 &=..................\\
 &=............\\
\end{align*}
donc $2(1+2+3+\ldots+n)=$............... d'où le résultat.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $1+2+\ldots+100=\sum_{k=...}^{k=...}.... =$............
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Application au calcul des premiers termes d'une suite arithmétique}
 Soit $(u_n)$ la suite arithmétiques de raison 3 et de premier terme $u_0=10$.\\
Alors 
\begin{align*}
u_0+u_1+u2+...+u_n=\sum_{k=...}^{k=...}(.........)=&=10+(10+3)+(10+3\times 2)+...+(10+3\times n)\\
 &=..............\\
 &=...............
\end{align*}
D'où $u_{15}=$...................... .
\end{sanscadre}

\newpage



\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{onehalfspace}
Pour toute suite \emphref{arithmétique} $(u_n)_n$ et tout entier naturel $n$ :
$$u_0+u_1+...+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k=....$$
ou, plus généralement, pour tout entier naturel $p<n$,
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=\sum_{k=p}^{k=n}u_k=....$$
ce qui s'écrit encore :
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=....$$
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
Pour $p=0$ on a :
\begin{align*}
&u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n \\
&= ...\\
&= ...\\
&=...\\
&= ...\\
&=...\\
&= ...\\
&= ...\\
\end{align*}
\end{onehalfspace}
Le cas $0<p<n$ se démontre de la même manière.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{suites géométriques}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Pour tout réel $q\neq1$ on a :
$$1+q+q^2+...+q^n=\sum_{k=0}^{k=n}q^k=...............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)=$............... .
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $1+2+2^2+2^3+\ldots+2^8=\sum_{k=...}^{k=...}......=......................$
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Application au calcul de termes de suites géométriques}
 Soit $u_n$ la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$.
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
u_0+u_1+u_2+...u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k&=......................\\
 &=.................\\
 &=.................
\end{align*}
D'où $u_0+u_1+u_2+...+u_10=$................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)_n$ est une suite \emphref{géométrique} de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si $q\neq 1$, $$u_0+u_1+...+u_n=\sum_{k=0}^{n}u_k=...$$ 
ou
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=...$$
\nouvitem si $q=1$, $u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)u_0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a 
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
& u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_{n+1}\\
&= ...\\
&=....\\
\end{align*}
Or, pour tout réel $q\neq 1$, $(q-1)(1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}+q^n)=...$.\\
Donc $u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_{n+1}=$......
\end{onehalfspace}
Si $q=1$, $u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_{n+1}=u_0(1+1+1^2+1^3+\ldots+1^{n-1}+1^n)=u_0\times (n+1)$.
\end{sanscadre}

\section{Cas général}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul de la somme des termes d'une suite jusqu'à un rang $n$ donné, $(u_n)$ étant définie par $u_{n+1}=f(u_n)$  pour tout $n$ supérieur ou égal à un entier naturel $p$ donné avec le premier terme $u_p$ donné.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $n$, $u_p$, $f$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
$S \leftarrow ....$;\\
\Pour{$k$\textbf{ allant de } $p+1$ \textbf{ à } .....}{
$u \leftarrow ....$;\\
$S \leftarrow ....$;\\
}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=2$ $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici), $n$ désigne le dernier rang.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def somme(p,n,u):
	S=u
	for k in range(p+1,....):
		u=....
		S=....
	return ....
\end{lstlisting}
ou
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def somme(p,n,u):
	S=u
	k=....
	while(k<=n):
		u=....
		S=....
		k=....
	return ....
\end{lstlisting}

\end{sanscadre}

\end{document}
