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\title{Sommes de termes de suites, cours,  classe de première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Sommes de termes de suites numériques, cours,  classe de première spécialité Mathématiques}}
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\maketitle

\pdfrowcolors{lightgray}

\tableofcontents

\newpage

\section{Suites arithmétiques}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Pour tout entier naturel $n$, 
$$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
ce que l'on note encore
$$\sum_{k=0}^{k=n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a :
 \begin{align*}
&(1+2+3+\ldots+n)+(1+2+3+\ldots+n) \\
&=(1+2+3+\ldots+n)+(n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1) \\
 &= (1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+\ldots+((n-1)+2)+(n+1)\\
 &=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)\\
 &= n(n+1)\\
\end{align*}
donc $2(1+2+3+\ldots+n)=n(n+1)$ d'où le résultat.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $1+2+\ldots+100=\sum_{k=0}^{k=100}k=\frac{100\times 101}{2}=\frac{10100}{2}=5050$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Application au calcul des premiers termes d'une suite arithmétique}
 Soit $(u_n)$ la suite arithmétiques de raison 3 et de premier terme $u_0=10$.\\
Alors 
\begin{align*}
u_0+u_1+u2+...+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}(10+3k)&=10+(10+3)+(10+3\times 2)+...+(10+3\times n)\\
 &=10\times (n+1)+3(1+2+3+...+n)\\
 &=10(n+1)+3\frac{n(n+1)}{2}
\end{align*}
D'où $u_{15}=10\times 16+2\frac{15\times 16}{2}=520$.
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Pour toute suite \emphref{arithmétique} $(u_n)_n$ et tout entier naturel $n$ :
$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$$
ou pour tout entier naturel $p<n$,
$$u_p+u_{p+1}+\ldots+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}$$
ce qui s'écrit encore :
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=\frac{\textrm{nombre de termes}\times(\textrm{premier terme}+\textrm{dernier terme})}{2}$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour $p=0$ on a :
\begin{align*}
&u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n \\
&= u_0+(u_0+r)+(u_0+2r)+\ldots+(u_0+(n-1)r)+(u_0+nr)\\
&= (n+1)u_0+(r+2r+3r+\ldots+(n-1)r+nr)\\
&= (n+1)u_0+r(1+2+3+\ldots+(n-1)+n)\\
&= (n+1)u_0+r\frac{n(n+1)}{2}\\
&= \frac{2(n+1)u_0+rn(n+1)}{2}\\
&= (n+1)\frac{u_0+u_0+nr}{2}\\
&= (n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\\
\end{align*}
Le cas $p<n$ se démontre de la même manière.
\end{sanscadre}

\section{suites géométriques}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Pour tout réel $q\neq1$ on a :
$$1+q+q^2+...+q^n=\sum_{k=0}^{k=n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 On développe $(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)=1+q+q^2+...+q^n-q-q^2-q^3-...-q^{n+1}=1-q^{n+1}$ d'où le résultat.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $1+2+2^2+2^3+\ldots+2^8=\sum_{k=0}^{k=8}2^k=\frac{1-2^{9}}{1-2}=\frac{511}{1}=511$
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Application au calcul de termes de suites géométriques}
 Soit $u_n$ la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$.
\begin{align*}
u_0+u_1+u_2+...u_n=\sum_{k=0}^{k=n}3\times 2^k&=3+3\times 2+3\times 2^3+...+3\times 2^n\\
 &=3(1+2+2^2+2^3+...+2^n)\\
 &=3\frac{1-2^{n+1}}{1-2}
\end{align*}
D'où par exemple, $u_0+u_1+u_2+...+u_10=3\frac{1-2^11}{-1}=6141$
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)_n$ est une suite \emphref{géométrique} de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si $q\neq 1$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$$ 
ou
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=\sum_{k=p}^{k=n}u_k=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$
\nouvitem si $q=1$, $u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)u_0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a 
\begin{align*}
& u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_{n+1}\\
&= u_0+u_0\times q+u_0\times q^2+u_0\times q^3+\ldots+u_0\times q^{n-1}+u_0\times q^n\\
&=u_0(1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}+q^n)\\
\end{align*}
Or, pour tout réel $q\neq 1$, $(q-1)(1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}+q^n)=q^{n+1}-1$.\par
\noindent Donc $u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_{n+1}=u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

Si $q=1$, $u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{n-1}+u_{n+1}=u_0(1+1+1^2+1^3+\ldots+1^{n-1}+1^n)=u_0\times (n+1)$.
\end{sanscadre}

\section{Cas général}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de calcul de la somme des termes d'une suite jusqu'à un rang $n$ donné, $(u_n)$ étant définie par $u_{n+1}=f(u_n)$  pour tout $n$ supérieur ou égal à un entier naturel $p$ donné avec le premier terme $u_p$ donné.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $n$, $u_p$, $f$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
$S \leftarrow u$;\\
\Pour{$k$\textbf{ allant de } $p+1$ \textbf{ à } $n$}{
$u \leftarrow f(u)$;\\
$S \leftarrow S+u$;\\
}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}




\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=2$ $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici), $n$ désigne le dernier rang.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def somme(p,n,u):
	S=u
	for k in range(p+1,n+1):
		u=3*u+2		
		S=S+u
	return S
\end{lstlisting}
ou
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def somme(p,n,u):
	S=u
	k=p+1
	while(k<=n):
		u=3*u+2
		S=S+u
		k=k+1
	return S
\end{lstlisting}

\end{sanscadre}


\end{document}
