<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{16cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Introduction aux suites numériques, cours, classe de première spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Introduction aux suites numériques, cours, classe de première spécialité Mathématiques}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Notion de suite}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{suite} toute application $u$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{align*}
u:&amp;\,\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}\\
&amp;n\longmapsto 3n^2+4\\
\end{align*}
On a $u_0=3\times 0^2+4=4$, $u_1=3\times 1^2+4=7$, $u_5=3\times 5^2+4=79$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem L'image de $n$ par la suite $u$ est notée $u_n$ ou $u(n)$.
\nouvitem $u_n$ est appelé \emphref{terme} de la suite 
\nouvitem La suite $u$ est notée $(u_n)_n\in\mathbb{N}$ ou $(u_n)_n$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Remarque}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $u_0$ est le premier \emphref{terme} de la suite, $u_n$ est le $n+1$\up{e} terme.
\nouvitem Si $u_1$ est le premier \emphref{terme} de la suite, $u_n$ est le $n$\up{e} terme.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Méthodes de construction des suites}

\subsection{Définition explicite}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$, on définit une suite $(u_n)_n$ en posant pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=f(n)$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer des termes d'une suite définie explicitement]}
\begin{align*}
u:&amp;\,\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}\\
&amp;n\longmapsto u_n=3n\\
\end{align*}
On a $u_0=3\times 0-2=-2$\\
$u_1=3\times 1-2=1$\\
$u_6=3\times 6-2=16$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Algorithme de calcul de terme}
Algorithme d'obtention du terme de rang $n$ d'une suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ et définie par $u_{n}=f(n)$ pour tout $n\geq p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$n$, $f$, $p$\\}
\Traitement{
Si $n\geq p$ alors $u \leftarrow f(n)$;\\
}
\end{algorithm}

\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n}=3n+2$ pour tout entier naturel $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite,0 ici. $n$ désigne le rang dont on cherche à calculer le terme et $u$ désigne le terme de la suite.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def calculTerme(p,n):
	if n&gt;=p:
		u=3*n+2
		return u
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithme de calcul d'une liste de termes}
Algorithme d'obtention de la liste des termes jusqu'à un rang $n$ donné pour une suite $(u_n)$ définie explicitement par $u_{n}=f(n)$ et son premier terme $u_p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $n$, $f$\\}
\Traitement{
$L$ est une liste vide;\\
\Pour{$k$\textbf{ allant de } $p$ \textbf{ à } $n$}{
$u \leftarrow f(k)$ ;\\
Ajouter $u$ à la liste $L$;\\
 }
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3n+2$ pour tout entier naturel $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite, 0 ici. $n$ désigne le dernier rang dont on cherche à obtenir le terme et $u$ désigne les différents termes de la suite.
\begin{itemize}
\nouvitem Construction en extension, avec une boucle bornée :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def obtientionListe(p,n):
	L=[]
	for k in range(p,n+1):
		u=3*k+2
		L.append(u)
	return L
\end{lstlisting}

\newpage


\nouvitem Construction en extension, avec une boucle non bornée :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def obtentionListe(p,n):
	L=[]	
	k=p
	while k&lt;n: 
		u=3*k+2
		L.append(u)
		k=k+1
	return L
\end{lstlisting}
\nouvitem Construction en compréhension :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def obtentionListe(p,n):
	L=[3*k+2 for k in range(p,n+1)]
	return L
\end{lstlisting}
\end{itemize}

\end{sanscadre}

\subsection{Définition par récurrence}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Une suite définie par \emphref{récurrence} est une suite définie par la donnée de son premier terme $u_p$ où $p$ est un entier naturel et par la relation pour tout $n$ entier naturel tel que $n\geq p$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple [Calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence]}
\pdfrowcolors{}
\begin{displaymath}
u_n=\left\{ \begin{array}{l}
u_0=4\\
u_{n+1}=3u_n-2
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
On a $u_1=3\times 4-2=10$\\
$u_2=3\times 10-2=28$\\
$u_3=3\times 28-2=82$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Algorithme de calcul d'un terme de rang donné}
Algorithme d'obtention du terme de rang $n$ d'une suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ et définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $n$, $u_p$, $f$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
\Pour{$k$\textbf{ allant de } $p+1$ \textbf{ à } $n$}{
$u \leftarrow f(u)$ ;}
}
\end{algorithm}

\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=2$ $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici), $n$ désigne le rang dont on cherche à calculer le terme et $u$ désigne les différents termes de la suite.
\begin{itemize}
\nouvitem Avec une boucle bornée :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def calculTerme(u,p,n):
	for k in range(p,n):
		u=3*u+2
	return u
\end{lstlisting}
\nouvitem Avec une boucle non bornée :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def calculTerme(u,p,n):
	k=p
	while k&lt;n: 
		u=3*u+2
		k=k+1
	return u
\end{lstlisting}
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Algorithme d'obtention de la liste des premiers termes}
Algorithme d'obtention de la liste des termes jusqu'à un rang $n$ donné pour une suite $(u_n)$ définie par récurrence par $u_{n+1}=f(u_n)$ et son premier terme $u_p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $n$, $u_p$, $f$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
$L$ est une liste réduite à $u$;\\
\Pour{$k$\textbf{ allant de } $p+1$ \textbf{ à } $n$}{
$u \leftarrow f(u)$
Ajouter $u$ à la liste $L$;\\
 ;}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=2$ $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici), $n$ désigne le dernier rang dont on cherche à obtenir le terme et $u$ désigne les différents termes de la suite. On ne peut utiliser que des constructions en extension ici.
\begin{itemize}
\nouvitem Avec une boucle bornée :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def obtentionListe(u,p,n):
	L=[u]
	for k in range(p,n):
		u=3*u+2
		L.append(u)
	return L
\end{lstlisting}
\nouvitem Avec une boucle non bornée :\\
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def obtentionListe(u,p,n):
	L=[u]	
	k=p
	while k&lt;n: 
		u=3*u+2
		k=k+1
		L.append(u)
	return L
\end{lstlisting}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Représentation graphique}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition }
La représentation graphique d'une suite $(u_n)$ dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées $(n;u_n)$.
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par $u_n=-4\times\frac{1}{2^{n}}$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{suitesRepresentationGraphiqueCours.png}
\end{center}
\end{sanscadre}


\end{document}
</pre></body></html>