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\title{Second degré, cours, première, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Second degré, cours, classe de première, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\Large \textbf{\'Equations et inéquations du second degré, première, spécialité Mathématiques}}
\end{center}



\section{Equations du second degré}
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle fonction \emphref{polynôme du second degré} toute fonction $f$ qui s'écrit pour tout réel $x$, $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a\neq 0$.
\nouvitem Toute solution de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est appelée \emphref{racine du trinôme} $ax^2+bx+c$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem  On appelle ............. ............. ............... ............ toute fonction qui s'écrit pour tout réel $x$, $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels fixés avec $a\neq 0$.
\nouvitem Toute solution de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est appelée ................ du trinôme$ax^2+bx+c$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Pour toute fonction \emph{polynôme du second degré} $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,\qquad b,\qquad c\in \mathbb{R}$ et $a\neq 0$, on a :
$$.....$$
où
$$\alpha=.....$$
et
$$\beta=.....$$
Cette écriture est appelée \emphref{forme canonique} de la fonction $f$.\\
On appelle \emphref{discriminant} du trinôme le réel $\Delta$ défini par $$.........$$
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
On a :
\begin{onehalfspace}
\begin{align*}
f(x) &=ax^2+bx+c\\
 &=...\\
 &=...\\
 &=...\\
 &=...\\
 &=...\\
 \end{align*}
 \end{onehalfspace}
 \end{sanscadre}
\begin{sanscadre}{Exemple}
2 est une ................. de $2x^2-5x+2$ car $2\times 2^2-5\times 2+2=0$.\\
Le discriminant du trinôme $2x^2-5x+2$ est $\delta=.....$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Ordonner les termes du trinôme avant de calculer le discriminant.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta <0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ ................................ ............. ................
\nouvitem Si $\Delta =0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ ............................ ................... .................. ................
\nouvitem Si $\Delta >0$, alors l'équation $ax^2+bx+c=0$ ............................ .................... ..................... ................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a vu auparavant que $f(x)=a((x-\alpha)^2+\beta)$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.\\
On a $f(x)=0$ qui s'écrit encore puisque $a\neq 0$, $(x-\alpha)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$\\
Donc $(x-\alpha)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.\\
On reconnaît le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta <0$, comme le premier membre $(x-\alpha )^2$ est de signe , l'équation ................. ....................... ;
\nouvitem si $\Delta = 0$, l'équation s'écrit $(x-\alpha)^2=0$ donc $x=$................ .......... .................... ;
\nouvitem si $\Delta > 0$, l'équation donne ................................... ou ......................................\\
donc ............................... ou .....................................\\
d'où .......
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une équation du second degré]}
\begin{onehalfspace}
On considère l'équation $2x^2-5x+2=0$.\\
On a vu que $\Delta=.....$\\
Il y a donc ............... solutions à cette équation :\\
...........\\
...........\\
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de résolution des équations du second degré c'est  à dire de l'équation $ax^2+bx+c=0$.
\begin{onehalfspace}
\begin{algorithm}
\Donnees{$a$, $b$, $c$\\}
\Traitement{
$\Delta \leftarrow ........$;\\
\Si{$\Delta<0$}{ .........................}
\Si{$\Delta=0$}{......................;\\
..........................}
\Si{$\Delta>0$}{..............................;\\
.....................................;\\
................................................... }
}
\end{algorithm}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def secondDegre(a,b,c):
	delta=...........
	if delta<0:
		return .....
	if delta==0:
		return .....
	if delta>0:
		return .....
\end{lstlisting}
Attention : cette implémentation de l'algorithme peut être mise en défaut lors du test de l'égalité en raison de limitation dans le codage des nombres réels dans les langages de programmation. Pour pallier à ce problème, on préfère tester l'égalité à une précision $e$ près (par exemple 0,000001) en utilisant la fonction ci-dessous plutôt que le \og{}==\fg{}.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def testeEgalite(x,y,e):
	return math.abs(x-y)<e
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{onehalfspace}
Avec les mêmes notations que précédemment, la fonction $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ admet comme factorisation de :
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta = 0$, .................................. où $x_0$ est la racine double du trinôme ;
\nouvitem si $\Delta > 0$, ........................ où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes du trinôme.
\nouvitem si $\Delta < 0$, ........................... ........................... ;
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a vu précédemment que $f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$. 
\begin{itemize}
 \nouvitem Si $\Delta =0$, on a donc $f(x)=$............................... ce qui est bien la factorisation attendue ;
\nouvitem si $\Delta > 0$, on a $a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$ pour tout $x$ réel.\\
Or $x_1+x_2=$........\\
En outre, $x_1x_2=$...........
donc $x_1x_2=$....\\
D'où $a(x-x_1)(x-x_2)=$.................... ....................... ce qui justifie le deuxième cas.
\nouvitem Par l'absurde : si $f(x)$ admettait une factorisation dans $\mathbb{R}$, $f(x)$ s'écrirait $f(x)=(x-r)P(x)$ où $P$ est un polynôme de degré inférieur strictement à 2 et $r$ est un réel. $f(x)$ admettrait donc une racine $r$ réelle ce qui est n'est pas le cas d'après la propriété précédente.
\end{itemize}

\begin{encadrer}{Remarque}
Soit $f$ une fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels, $a\neq 0$ et dont le discriminant $\Delta$ est positif. D'après la preuve de la propriété précédente, les deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ de $f$ vérifient $x_1+x_2=$.......... et $x_1x_2=$......... .
\end{encadrer}

\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir factoriser une expression du second degré}
\begin{onehalfspace}
On a vu que l'équation $2x^2-5x+2=0$ a pour discriminant $\Delta=$........ et admet deux solutions ......... et .......... .\\
On a donc $2x^2-5x+2=$...........
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Inéquations du second degré}

\begin{encadrer}{Propriété}
Avec les mêmes notations que précédemment, 
\begin{itemize}
\nouvitem si $\Delta <0$, $f(x)$ est du signe de ............. ......... ............. ................ .............;
\nouvitem si $\Delta =0$, $f(x)$ est du signe de ........... ............. ........... .............. ................ ;
\nouvitem si $\Delta >0$, $f(x)$ est du signe de ........... ............. ........... .............. .............. .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Si $\Delta < 0$, on utilise la forme canonique $f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})$. On a $(x+\frac{b}{2a})^2$ qui est positif pour tout réel $x$ et $-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=-\frac{\Delta}{4a^2}$ qui est strictement positif donc $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$.
\nouvitem Si $\Delta = 0$, $f(x)$ a pour expression factorisée ..................... d'après la propriété précédente donc $f(x)$ est du signe de .................. ................. ............... ................ .................. .
\nouvitem Si $\Delta > 0$, $f(x)$ a pour expression factorisée ......................... . On fait un tableau de signe suivant le signe $a$. Faisons le par exemple pour $a<0$. On obtient :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
 $x$ & $-\infty$ & & $x_1$ & & $x_2$ & & $+\infty$ \\
\hline
$a$ & & .... & & .... & & .... & \\
\hline
$x-x_1$ & & ..... & ... & .... & & .... & \\
\hline
$x-x_2$ & & ..... & & .... & ... & .... & \\
\hline
$f(x)$ & & .... & ... & .... & ... & .... & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
ce qui justifie la propriété dans le cas où $a<0$. On procède de même pour le cas $a>0$.
 \end{itemize}

\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir résoudre une inéquation du second degré]}
\begin{onehalfspace}
Résolution de $\frac{-x^2+6+7}{x+2}\geq 0$.\\
$x+2=0$ équivaut à ....... donc .... est la seule valeur interdite.\\
Résolution de $-x^2+6x+7=0$ :\\
On a $\Delta=$................... .\\
$\Delta$......... donc l'équation admet deux solutions distinctes 
$x_1=$.............\\
et $x_2=$.............. \\
\end{onehalfspace}

\'Etude de signe :
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{c|ccccccccc}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & -2 & & -1 & & 7 & & $+\infty$ \\
\hline
$x+2$ & & .... & .... & .... & & .... & & .... & \\
\hline 
$-x^2+6x+7$ & & .... & & .... & .... & .... & .... & .... & \\
\hline
$\frac{-x^2+6x+7}{x+2}$ & & .... & .... & .... & .... & .... & .... & .... & \\
\end{tabular}
\end{center}
Donc $S=$................
\end{sanscadre}

\newpage



\section{Interprétation graphique}

\begin{encadrer}{Propriété}
Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont les abscisses des points d'intersection s'ils existent de la parabole représentant la fonction $f$ et de l'axe des abscisses.
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Interprétation}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $\Delta>0$, la courbe ................. ................. ..................... ;
\nouvitem si $\Delta =0$, la courbe ................ ................. ...................... ...............
\nouvitem si $\Delta <0$, la courbe ................ .............. ....................
\end{itemize}
En outre, si $a>0$, la parabole a ses branches ............... ................... et .................... .................... si $a<0$.
\end{sanscadresansflush}

\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[width=5cm]{seconddegrecours1Simg2vide.png} & \includegraphics[width=5cm]{seconddegrecours1Simg3vide.png} \\
\includegraphics[width=5cm]{seconddegrecours1Simg5vide.png} & \includegraphics[width=5cm]{seconddegrecours1Simg4vide.png} \\
\end{tabular}
\end{center}




\end{document}
